Докажите что количество трехзначных чисел равно
Докажите что количество трехзначных чисел равно количеству пятизначных чисел, в записи которых вторая и четвёртая цифра (считая слева направо) соответственно равны 2 и 7 ( это на дом задали если что)?
Докажите что количество трехзначных чисел равно количеству пятизначных чисел, в записи которых вторая и четвёртая цифра (считая слева направо) соответственно равны 2 и 7 ( это на дом задали если что).
Сколько сушествует трехзначных чисел, в записи которых нет цифры 7?
Сколько сушествует трехзначных чисел, в записи которых нет цифры 7.
Сколько существует пятизначных чисел, одинаково читающихся слева направо и справа налево?
Сколько существует пятизначных чисел, одинаково читающихся слева направо и справа налево?
Из двузначных чисел в записи которых цифры различные выбрали наибольшее и наименьшее чему равна сумма этих чисел?
Из двузначных чисел в записи которых цифры различные выбрали наибольшее и наименьшее чему равна сумма этих чисел?
Назовите два числа, у которых количество цифр равно количеству букв, составляющих название каждого из этих чисел?
Назовите два числа, у которых количество цифр равно количеству букв, составляющих название каждого из этих чисел.
В пятизначное число каждая цифра, начиная с третьей, равна сумме двух цифр, стоящих слева от неё?
В пятизначное число каждая цифра, начиная с третьей, равна сумме двух цифр, стоящих слева от неё.
Сколько существует таких пятизначных чисел.
Укажите количество двузначных чисел, в записи которых хотябы раз встречается цифра 6?
Укажите количество двузначных чисел, в записи которых хотябы раз встречается цифра 6.
Чему равна разность шестизначного и пятизначного чисел для записи которых использована только цифра 1?
Чему равна разность шестизначного и пятизначного чисел для записи которых использована только цифра 1.
Сколько существует трехзначных чисел в записи которых нет цифры 3?
Сколько существует трехзначных чисел в записи которых нет цифры 3.
У тебя есть цифры : 3, 6, 7, 9?
У тебя есть цифры : 3, 6, 7, 9.
Сколько можно составить из этих цифр двузначных чисел, чтобы в записи числа цифра не повторялась, И по какой формуле можно найти количество чисел, если известно количество цифр?
Пракикум «Решение задач по комбинаторике»
Разделы: Математика
Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами. Комбинаторика изучает комбинации и перестановки предметов, расположение элементов, обладающее заданными свойствами. Обычный вопрос в комбинаторных задачах: сколькими способами….
К комбинаторным задачам относятся также задачи построения магических квадратов, задачи расшифровки и кодирования.
Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами великих французских математиков 17 века Блеза Паскаля (1623–1662) и Пьера Ферма (1601–1665) по теории азартных игр. Эти труды содержали принципы определения числа комбинаций элементов конечного множества. С 50-х годов 20 века интерес к комбинаторике возрождается в связи с бурным развитием кибернетики.
Основные правила комбинаторики – это правило суммы и правило произведения.
Если некоторый элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать m способами, то выбор «либо А, либо В» можно сделать n + m способами.
Например, Если на тарелке лежат 5 яблок и 6 груш, то один плод можно выбрать 5 + 6 = 11 способами.
Если элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать m способами, то пару А и В можно выбрать n • m способами.
Например, если есть 2 разных конверта и 3 разные марки, то выбрать конверт и марку можно 6 способами (2 • 3 = 6).
Правило произведения верно и в том случае, когда рассматривают элементы нескольких множеств.
Например, если есть 2 разных конверта, 3 разные марки и 4 разные открытки, то выбрать конверт, марку и открытку можно 24 способами (2 • 3 • 4 = 24).
Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называется n – факториалом и обозначается символом n!
Например, 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120.
Принято считать 0! равным 1.
Число перестановок из n равна n!
Например, если есть 3 шарика – красный, синий и зелёный, то выложить их в ряд можно 6 способами (3 • 2 • 1 = 3! = 6).
Иногда комбинаторная задача решается с помощью построения дерева возможных вариантов.
Например, решим предыдущую задачу о 3-х шарах построением дерева.
Практикум по решению задач по комбинаторике.
1. В вазе 6 яблок, 5 груш и 4 сливы. Сколько вариантов выбора одного плода?
2. Сколько существует вариантов покупки одной розы, если продают 3 алые, 2 алые и 4 жёлтые розы?
3. Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С ведут три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?
4. Сколькими способами можно составить пару из одной гласной и одной согласной букв слова «платок»?
гласные: а, о – 2 шт.
согласные: п, л, т, к – 4 шт.
5. Сколько танцевальных пар можно составить из 8 юношей и 6 девушек?
6. В столовой есть 4 первых блюда и 7 вторых. Сколько различных вариантов обеда из двух блюд можно заказать?
Ответ: 28 вариантов.
7. Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7, если цифры могут повторяться?
1 цифра – 3 способа
2 цифра – 3 способа
3 цифра – 3 способа
Ответ: 9 различных двузначных чисел.
8. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5, если цифры могут повторяться?
1 цифра – 2 способа
2 цифра – 2 способа
3 цифра – 2 способа
Ответ: 8 различных чисел.
9. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если цифры могут повторяться?
1 цифра – 3 способа
2 цифра – 4 способа
Ответ: 12 различных чисел.
10. Сколько существует трёхзначных чисел, у которых все цифры чётные?
1 цифра – 4 способа
2 цифра – 5 способов
3 цифра – 5 способов
Ответ: существует 100 чисел.
11. Сколько существует четных трёхзначных чисел?
1 цифра – 9 способов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
2 цифра – 10 способов (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
3 цифра – 5 способов (0, 2, 4, 6, 8)
Ответ: существует 450 чисел.
12.Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из трёх различных цифр 4, 5, 6?
1 цифра – 3 способа
2 цифра – 2 способа
3 цифра – 1 способ
Ответ: 6 различных чисел.
13. Сколькими способами можно обозначить вершины треугольника, используя буквы А, В, С, D?
1 вершина – 4 способа
2 вершина – 3 способа
3 вершина – 2 способа
14. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,при условии, что ни одна цифра не повторяется?
1 цифра – 5 способов
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа
Ответ: 60 различных чисел.
15. Сколько различных трёхзначных чисел, меньших 400, можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9, если любая из этих цифр может быть использована только один раз?
1 цифра – 2 способа
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа
Ответ: 24 различных числа.
16. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трёх горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал шести цветов?
1 полоса – 6 способов
2 полоса – 5 способов
3 полоса – 4 способа
17. Из класса выбирают 8 человек, имеющих лучшие результаты по бегу. Сколькими способами можно составить из них команду из трёх человек для участия в эстафете?
1 человек – 8 способов
2 человек – 7 способов
3 человек – 6 способов
18. В четверг в первом классе должно быть четыре урока: письмо, чтение, математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?
1 урок – 4 способа
2 урок – 3 способа
3 урок – 2 способа
4 урок – 1 способ
19. В пятом классе изучаются 8 предметов. Сколько различных вариантов расписания можно составить на понедельник, если в этот день должно быть 5 уроков и все уроки разные?
1 урок – 8 вариантов
2 урок – 7 вариантов
3 урок – 6 вариантов
4 урок – 5 вариантов
5 урок – 4 варианта
8 • 7 • 6 • 5 • 4 = 6720
20. Шифр для сейфа составляется из пяти различных цифр. Сколько различных вариантов составления шифра?
1 цифра – 5 способов
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа
4 цифра – 2 способа
5 цифра – 1 способ
5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120
21. Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлено 6 приборов?
22. Сколько вариантов семизначных телефонных номеров можно составить, если исключить из них номера, начинающиеся с нуля и 9?
1 цифра – 8 способов
2 цифра – 10 способов
3 цифра – 10 способов
4 цифра – 10 способов
5 цифра – 10 способов
6 цифра – 10 способов
7 цифра – 10 способов
8 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 = 8.000.000
23. Телефонная станция обслуживает абонентов, у которых номера телефонов состоят из 7 цифр и начинаются с 394. На сколько абонентов рассчитана эта станция?
№ телефона 394
10 • 10 • 10 • 10 = 10.000
24. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну перчатку на правую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров?
Левые перчатки – 6 способов
Правые перчатки – 5 способов (6 перчатка того же размера, что и левая)
5 цифра – 2 способа (две чётные цифры)
4 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа
2 цифра – 2 способа
1 цифра – 1 способ
26. Сколько существует четырёхзначных чисел, составленных из нечётных цифр и делящихся на 5?
Нечётные цифр – 1, 3, 5, 7, 9.
Из них делятся на 5 – 5.
4 цифра – 1 способ (цифра 5)
3 цифра – 4 способа
2 цифра – 3 способа
1 цифра – 2 способа
27. Сколько существует пятизначных чисел, у которых третья цифра – 7, последняя цифра – чётная?
1 цифра – 9 способов (все, кроме 0)
2 цифра – 10 способов
3 цифра – 1 способ (цифра 7)
4 цифра – 10 способов
5 цифра – 5 способов (0, 2, 4, 6, 8)
9 • 10 • 1 • 10 • 5 = 4500
28. Сколько существует шестизначных чисел, у которых вторая цифра – 2, четвёртая – 4, шестая – 6, а все остальные – нечётные?
1 цифра – 5 вариантов (из 1, 3, 5, 7, 9)
2 цифра – 1 вариант (цифра 2)
3 цифра – 5 вариантов
4 цифра – 1 вариант (цифра 4)
5 цифра – 5 вариантов
6 цифра – 1 вариант (цифра 6)
5 • 1 • 5 • 1 • 5 • 1 = 125
29.Сколько различных чисел, меньших миллиона, можно записать с помощью цифр 8 и 9?
Однозначных – 2
Двузначных – 2 • 2 = 4
Трёхзначных – 2 • 2 • 2 = 8
Четырёхзначных – 2 • 2 • 2 • 2 =16
Пятизначных – 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32
Шестизначных – 2 • 2 • 2 • 2 2 • 2 = 64
Всего: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126
30. В футбольной команде 11 человек. Нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
Капитан – 11 способов
Заместитель – 10 способов
31.В классе учатся 30 человек. Сколькими способами из них можно выбрать старосту и ответственного за проездные билеты?
Староста – 30 способов
Ответ. за билеты – 29 способов
32. В походе участвуют 12 мальчиков, 10 девочек и 2 учителя. Сколько вариантов групп дежурных из трёх человек (1 мальчик, 1 девочка, 1 учитель) можно составить?
33. Сколько комбинаций из четырёх букв русского алфавита (в алфавите всего 33 буквы) можно составить при условии, что 2 соседние буквы будут разными?
1 буква – 33 способа
2 буква – 32 способа
3 буква – 32 способа
4 буква – 32 способа
Материал для подготовки к олимпиадам
Задачи на делимость
1.Сколько существует натуральных чисел, меньших 1000, которые не делятся ни на 5 ни на 7? Ответ: 686
2.Какую цифру нужно приписать к числу 97 справа и слева, чтобы полученное число делилось на 27?Ответ: 1
Решение:Удвоенная неизвестная цифра дополняет сумму известных цифр числа до величины, кратной 9-ти.
3.Десятичная запись числа состоит из 30 единиц и нескольких нулей. Может ли это число быть полным квадратом? Ответ: Не может
Решение: Сумма цифр числа равна 30. Значит оно делится на 3, но не делится на 9, поэтому оно не может быть полным квадратом.
4. Учащиеся класса разбиты парами. В каждой паре девочка и мальчик, причём у мальчика в двое больше, или в двое меньше книг в портфеле, чем у девочки. Могло ли так случиться, что у всех вместе 100 книг? Ответ:Нет
Решение: Число книг в каждой паре делится на 3. Значит и суммарное число книг должно делится на 3. Однако число 100 на 3 не делится.
5. Найдите 2 числа, которые не делятся на 315. А их сумма и произведение делятся на 315.
6. Найдите наименьшее натуральное число, которое оканчивается на 17, делится на 17 и имеет сумму цифр, равную 17
7. Перемножили три тысячи двоек. Докажите, что в записи получившегося после перемножения числа не больше 1000 цифр.
8. Каких пятизначных чисел с суммой цифр, равной 37 больше: четных или нечетных?
1. В классе учатся 23 ученика. Докажите, что из них можно выбрать четырёх, которые родились в один день.
Решение: Предположим, что в каждый день недели родились не более трёх учеников. Тогда в классе учится не более 21 ученика( 3*7 = 21). Противоречие.
2. В школе учатся 400 учеников. Докажите, что хотя бы двое из них отмечают день рождения в один и тот же день
3. В квадрате со стороной 10 отметили 201 точку. Докажите, что три какие –то три из выбранных точек можно накрыть квадратом со стороной1.
Решение: Разобьём квадрат со стороной 10 на 100 квадратов со стороной 1. Тогда в каком-то квадрате будет по крайней мере три точки.
4. Докажите, что из любых 6 человек найдется трое попарно знакомых или трое попарно незнакомых
Решение: Пусть А- любой из 6 человек. Тогда из оставшихся пяти можно выбрать троих таких, что каждый из них либо знаком, либо не знакомых с А. Пусть В, С, Д знакомы с А. Тогда если двое из них знакомы друг с другом, например В и С, тогда А, В, С образуют тройку попарно знакомых. Если такой пары нет тогда В,С,Д образуют тройку попарно незнакомых.
5. Докажите, что в любой компании из 5 человек есть двое, имеющие одинаковое число знакомых
6. Сможете ли вы разложить 44 шарика на 9 кучек так, чтобы количество шариков в разных кучках было различным?
7. 99 лошадей стоят в 15 конюшнях. Докажите, что хотя бы в одной из конюшен стоит нечётное число лошадей
8. В магазин привезли 25 ящиков яблок трех сортов. В каждом ящике лежат яблоки одного сорта. Продавец утверждает, что у него нет девяти ящиков с яблоками одного сорта. Не ошибся ли он?
9. В поход пошли 20 туристов. Самому старшему из них 35 лет, а самому младшему а) 16 лет б) 17 лет. Верно ли, что среди туристов есть одногодки?
10. Занятия математического кружка проходят в девяти аудиториях. Среди прочих, на эти занятия приходят 19 учеников из одной и той же школы.
а) Докажите, что как их не пересаживай, хотя бы в одной аудитории окажется не меньше трех таких школьников.
б) Верно ли, что в какой-нибудь аудитории обязательно окажется ровно три таких школьника?
1.Витя выложил из карточек с цифрами пример на сложение и затем поменял
местами две карточки. Как видите, равенство нарушилось.
Какие карточки переставил Витя?
2.Сколько существует двузначных чисел, у которых цифра десятков больше цифры единиц?
3.В слове 222122111121 каждая буква заменена своим номером в русском алфавите.
Какое слово зашифровано?
4.В коробке лежат синие, красные и зеленые карандаши. Всего 20 штук.
Синих в 6 раз больше, чем зеленых, красных меньше, чем синих.
Сколько в коробке красных карандашей?
5.Миша выписал подряд все числа месяца: 123456789101112. и покрасил три дня
(дни рождения своих друзей), никакие два из которых не идут подряд.
Оказалось, что все непокрашенные участки состоят из одинакового количества цифр.
Докажите, что первое число месяца покрашено.
6.На гранях кубика расставлены числа от 1 до 6. Кубик бросили два раза.
В первый раз сумма чисел на четырёх боковых гранях оказалась равна 12, во второй — 15.
Какое число написано на грани, противоположной той, где написана цифра 3?
Логические задачи с числами
1. Имеется 10 карточек на которых записано число2 и сколько угодно карточек со знаками +,-. х и скобок. Как с их помощью составить выражение, значение которого 2011
2. Произведение цифр трёхзначного числа равно 25. Найдите эти числа.
3. Найдите все четырёхзначные числа, у которых вторая цифра впятеро больше первой, а произведение всех четырёх равно 9
4. Найдите все трёхзначные числа у которых вторая цифра вчетверо больше первой, а сумма все трёх цифр равна 14.
5. Произведение цифр трёхзначного числа равно 3. Найдите все числа
6. Найдите четырёхзначное число, у которого вторая цифра вдвое больше первой, а третья –втрое меньше второй, а четвёртая – вчетверо больше третьей.
7. В записи ***** х **** = *******1 замените звёздочки нулями и единицами так, чтобы получилось верное равенство.
8. В записи ***5:11=** замените звёздочки цифрами так, чтобы получилось верное равенство. Объясните, почему это можно сделать только одним способом?
10. 2∙3∙2 + 3∙4∙3 =3∙2∙3 + 4∙3∙2 Расставьте скобки, чтобы получилось верное равенство
11. В ряд записаны пять двоек. Вставляя между некоторыми из них знаки арифметических действий и скобки получи числа 13 или 113
12. Замени буквы цифрами в слове ТРАНСПОРТИРОВКА так чтобы Т>Р>А>Н И>Р>О 03.11.18 в 11:08 в группе «ОЛИМПИАДА»