Докажите что композиция двух убывающих функций функция убывающая

Различные математические функции

В школе мы изучали различные функции : линейную y =ax +b (график линия), квадратичную y =ax²+bx+c ( график парабола), функцию обратной пропорциональности ( график гипербола), тригонометрические функции (y=sin x, y =cos x, y =tg x, y =ctg x), степенная y =xⁿ, показательная y =a и xлогарифмическая y = log x функции.

До начала XVII в. в математике избегали применять дробные и отрицательные показатели степени. Только в конце XVII в. в связи с усложнением математических задач появилась необходимость распространить область определения показателя степени на все действительные числа. Обобщение понятия степени а, где n- любое действительное число, позволило рассматривать показательную функцию (y =a) на множестве действительных чисел и степенную функцию (y =xⁿ) на множестве положительных чисел, а при целых n степенная функция определена и для x 0.

Функцию сигнум ввёл Л. Кронекер в 1878 г.

Антье от x (целая часть x) есть наибольшее целое число, не превосходящее x.

График функции y =[x] состоит из отрезков прямых, параллельных оси абсцисс ( на промежутке [ 0;1) –отрезок оси абсцисс), образующих «лесенку», длина и высота каждой «ступеньки» которой равна 1.

В функции y = дробную часть числа можно определить через целую часть:

= x-[ x ]. Поскольку целая часть x не превосходит x, то дробная часть числа всегда неотрицательна. Дробная часть целого числа равна 0.

График функции y = изображается изолированными отрезками прямых на каждом промежутке [k; k +1), k Z области определения.

Длина полных метров в куске кабеля в 5 раз больше длины неполного метра. Какова максимально возможная длина кабеля?

Решение. Обозначим длину кабеля x (м). Тогда составляется уравнение 5 =[x] или = [x] ∕ 5. Так как x [0; 5), то [x] [0; 5), поэтому [x] =4. Тогда = 0,8. Искомая длина кабеля 4,8 (м).

Применяются сведения и свойства кусочно-линейных функций так же при решении уравнений и неравенств, их систем.

Здесь мы рассмотрим метод решения неравенств, представляющий собой некоторое усовершенствование метода интервалов. Именно, в задачах, где существенным является знак функции, можно заменить разность значений их аргументов. Это позволяет решать довольно сложные неравенства сравнительно просто – методом интервалов, применяемым обычно к рациональным функциям.

Для обоснования указанной замены мы переформулируем определение возрастающей функции.

Функция y = f(x) возрастает (убывает) на промежутке I тогда и только тогда, когда для любых u и v из этого промежутка знаки чисел f(u) – f(v) и u – v совпадают (соответственно, противоположны).

Это замечание позволяет в целом ряде задач, связанных с исследованием знака функций, заменить разность f(u) – f(v) на более простое выражение u – v.

Решение. Область определения данного неравенства описывается системой

Поскольку мы хотели бы применить метод интервалов, перенесём число 2 в левую часть неравенства, и приведём её к общему знаменателю:

Неравенство, очевидно, справедливо при. При запишем его так:

В неравенстве заменим разность корней разностью подкоренных выражений:

Решив последнее неравенство методом интервалов, получаем ответ.

Использование свойств непрерывности и монотонности функций, входящих в композицию, во многих случаях существенно упрощает решение таких задач.

— композиция f ° g двух строго возрастающих функций f и g также будет строго возрастающей функцией;

— композиция f ° g двух строго убывающих функций f и g является строго возрастающей функцией;

Источник

Композиция функций и функциональные уравнения

Школьный курс математики предполагает обучение учащихся различным методам решения задач на композицию функций, функциональные уравнения и неравенства. Однако, пожалуй впервые, в явном виде учащиеся общеобразовательных классов сталкиваются с понятием «композиция функций» в теме «Производная и ее применение» при выводе формулы производной сложной функции. Использование же этого понятия даже в достаточно простых задачах из других тем школьного курса вызывает у них большие трудности. Поэтому обращение авторов к данной теме является актуальным.
Наш опыт показывает, что и в ЕГЭ, и на олимпиадах разного уровня довольно часто встречаются задания на композицию функций, функциональные уравнения и неравенства, которые необходимо решать нетрадиционными способами, но в школьных учебниках не уделяется должного внимания методам их решения. Кроме того, при решении этих задач не подходит ни один стандартный (известный) алгоритм и учащимся приходится применять более широкий спектр теоретических знаний, проявлять сообразительность и умение рассуждать. Можно добавить, что они просто интересны, а решения некоторых из них необыкновенно красивы. Заметим, что такие задачи не выходят за рамки школьной программы, поскольку могут быть решены школьными методами. Поэтому изучение школьниками данной тематики улучшает закрепление пройденного материала, способствует развитию интереса к предмету, позволяет отработать различные способы решения задач при подготовке к ЕГЭ, олимпиадам разного уровня и вступительным испытаниям в вузы (в которых эти испытания сохранились).
Авторы настоящей статьи ставили перед собой цель познакомить заинтересованного читателя с основными подходами и методами решения задач, в которых фигурирует понятие сложной функции. Надеемся, что подобранный и систематизированный нами материал, а также максимально подробное его изложение будет полезно как учителям, так и школьникам.
Для начала напомним определение.
Пусть заданы две функции y = f(x) и x = g(t), причем область определения функции f содержит множество значений функции g. Тогда каждому числу t из области определения функции g соответствует значение x = g(t), принадлежащее области определения функции f, а ему, в свою очередь, соответствует число y = f(x).
Таким образом, каждому числу t из области определения функции g ставится в соответствие единственное число y из множества значений функции f, а это означает, что на области определения функции g задана функция, которую называют сложной функцией или композицией функций. При этом пишут y = f(g(x)).

Спонсор публикации статьи учебный центр «Стимул». Центр предлагает Вам пройти учебные семинары для парикмахеров, семинары по парикмахерскому делу, косметологии, ногтевому сервису, организации туристического бизнеса, компьютерные курсы и другие. Профессиональная программа, квалифицированные преподаватели, доступные цены. Узнать подробнее о курсах в Ульяновске, цены и контакты Вы сможете на сайте, который располагается по адресу: http://www.stimul-kursy.ru/.

Пример 1. (Открытый банк заданий ЕГЭ-2010.) Найти если при | x | ≠ 2.
Решение. Функция g(x) определена при x ∈ (–∞; +∞); g(2 – x) — композиция функций g(x) и f(x) = 2 – x, а g(2 + x) — композиция g(x) и h(x) = 2 + x. Тогда

Отсюда получаем, что выражение имеет смысл при всех | x | ≠ 2 и

Пример 2. Дана функция f(x) = –x 2 + 4x – 3. Решить уравнение f(2x + 3) = 4f(x – 2).
Решение. Опуская некоторые очевидные рассуждения и выкладки, получим для всех действительных x:
f(2x + 3) = –(2x + 3) 2 + 4(2x + 3) – 3 = –4x 2 – 4x,
f(x – 2) = –(x – 2) 2 + 4(x – 2) – 3 = –x 2 + 8x – 15.
Тогда уравнение f(2x + 3) = 4f(x – 2) примет вид:

Ответ:

Пример 3. Дана функция Решить неравенство
2f(x + 3) 2 + 13x + 16 > 0 для всех действительных x, то последнее неравенство выполняется при x ∈ (–4; –2).
Ответ: (–4; –2).

Пример 4. (МИЭТ, 2004, № 9 из 11.) Найти значение f(f(1)), если

Решение. Найдем вначале f(1). Поскольку
1 ≥ –2, то f(1) = –1 – 5 = –6. Значит, f(f(1)) = f(–6). Так как –6 (18; 25].

Пример 6. (Московская межвузовская олимпиада, 2009, № 5.) Пусть Найти значение функции в точке x = 4.
Решение. Установим вид функции для первых трех натуральных значений n.
При
При

Возникает предположение, что

Докажем это утверждение методом математической индукции.
При n = 1, согласно условию задачи, Утверждение истинно.
Пусть при n = k утверждение истинно, и функция имеет вид:

Докажем, что при n = k + 1 функция имеет вид:

Действительно,

Что и требовалось доказать.
Итак,

при всех натуральных n. Следовательно, при
n = 2009:

В последнем соотношении выражение, заключенное в скобки, представляет собой сумму первых 2009 членов геометрической прогрессии со знаменателем и первым членом, равным 2. Тогда

Подставляя в последнее соотношение x = 4, получим ответ:

Пример 7. (МИЭТ, 2002, № 10 из 11.) Построить график функции y = 3| f(f(x)) | + 1, где

Решение. Выполним (по определению композиции функций) формальные преобразования:

Найдем область определения функции f(f(x)):

Таким образом, функция y = 3 ∙ | f(f(x)) | + 1 может быть представлена в виде:

График функции y = 3 ∙ | f(f(x)) | + 1 изображен на рисунке 1.

Пример 8. (МИЭТ, 1999, № 7 из 11.) Изобразите на плоскости Oxy множество точек, координаты которых удовлетворяют условию где f(x) = 1 – | x |.
Решение. Преобразуем уравнение, задающее на плоскости Oxy искомое множество точек:

Множество точек на плоскости Oxy, удовлетворяющих уравнению

очевидно, симметрично относительно координатных осей. Поэтому можно изобразить точки этого множества в первой координатной четверти, а затем окончательно достроить его, последовательно симметрично отразив относительно осей Ox и Oy. Итак, при x ≥ 0 и y ≥ 0 уравнение

примет вид

Тогда, раскрывая по определению модуль, получим:

Поскольку при 0 ≤ x 2 – 6t + 8 на отрезке [x + 1; x + 2]. Постройте график функции f(x).
Решение. Приведем функцию g(t) к виду: g(t) = (t – 3) 2 – 1.
Графиком функции g(t) является парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (3; –1). Значит, наименьшее значение функции g(t) на отрезке [x + 1; x + 2] будет равно –1, если 3 ∈ [x + 1; x + 2], то есть, записав систему неравенств

получим x ∈ [1; 2].
Если 3 [x + 1; x + 2], то наименьшее значение функции g(t) достигается на левом конце отрезка [x + 1; x + 2] (в случае 3 x + 2).
Следовательно, если x > 2, то наименьшее значение функции g(t) на отрезке [x + 1; x + 2] будет равно
g(x + 1) = (x + 1 – 3) 2 – 1 = (x – 2) 2 – 1.
Если же x 2 – 1 = (x – 1) 2 – 1.
Окончательно получим:

График функции f(x) изображен на рисунке 5.

Далее рассмотрим тип задач, в которых надо найти функцию, если задано некоторое уравнение, в котором в качестве неизвестной выступает сама функция. Такие уравнения называют функциональными уравнениями. В дальнейшем будем рассматривать функциональные уравнения, в которых искомые функции связаны с известными функциями одной переменной с помощью операции образования сложной функции. Отметим также, что функциональные уравнения можно рассматривать как выражение свойства, характеризующего тот или иной класс функций. Например, f(x) = f(–x) — уравнение четности, f(x + T) = f(x) — уравнение периодичности и т.д.
Рассмотрим сначала задачи, в которых требуется найти значения функции, не заданной явно, но обладающей свойствами четности (нечетности), периодичности, или когда из данного функционального уравнения надо вывести (доказать) указанные свойства.

Пример 11. (МИЭТ, 2004, № 8 из 11.) Функция f(x) нечетная и периодическая с периодом
T = 10. Найти значение f(2004), если f(–4) = 1,5.
Решение. Воспользуемся вначале условием периодичности функции f(x). Тогда
f(2004) = f(4 + 10∙200) = f(4).
Поскольку функция f(x) нечетная, то
f(–x) = –f(x),
следовательно,
f(4) = –f(–4) = –1,5.
Ответ: –1,5.

Таким образом получаем, что искомая сумма равна

Пример 13. (МИЭТ, 1994, № 6 из 11.) Известно, что равенство f(x + 2) = –f(x) имеет место для всех действительных x. Доказать, что функция f(x) является периодической с периодом 4.
Решение. Пусть t = x + 2, тогда x = t – 2, и соотношение f(x + 2) = –f(x) примет вид
f(t) = –f(t – 2).
В последнем уравнении вместо переменной (буквы) t может выступать любая другая буква. Поэтому, заменив t на x, получим: f(x) = –f(x – 2). Подставим последнее выражение для f(x) в исходное уравнение и выполним преобразования:
f(x + 2) = –(–f(x – 2)) ⇔ f(x + 2) = f(x – 2).
Пусть u = x – 2, тогда x + 2 = u + 4, и соотношение f(x + 2) = f(x – 2) примет вид:
f(u + 4) = f(u) ⇔ (переобозначение: u ↔ x) ⇔ f(x + 4) = f(x).
Это означает, что функция f(x) является периодической с периодом 4.

Пример 14. (МИЭТ, 1999, № 9 из 11.) Функция f(x), определенная при всех значениях x и не равная 1 ни при каком значении x, удовлетворяет условию

Найти f(2000), если f(2) = 3.
Решение. Докажем, что функция f(x) является периодической и найдем ее период.
Пусть t = x + 2, тогда x = t – 2, и соотношение

В последнем уравнении вместо переменной (буквы) t может выступать любая другая буква. Поэтому, заменив t на x, получим:

Подставим последнее выражение для f(x) в исходное соотношение и выполним преобразования:

Пусть u = x – 2, тогда x + 2 = u + 4, и соотношение

Пусть v = x + 4, тогда x = v – 4, и соотношение

Подставим последнее выражение для f(x) в уравнение и выполним преобразования:

Пусть w = x – 4, тогда x + 4 = w + 8, и уравнение f(x + 4) = f(x – 4) примет вид:
f(w + 8) = f(w) ⇔ (переобозначение: w ↔ x) ⇔ f(x + 8) = f(x).
Таким образом, функция f(x) является периодической с периодом 8. Отсюда следует, что значение функции f(x) при x = 2000 будет равно значению f(x) при x = 8,
так как 2000 = 8 ∙ 249 + 8.
Найдем:

Следовательно, f(2000) = f(8) = 0,5.
Ответ: 0,5.

Функция f(x) называется решением данного функционального уравнения, если при подстановке ее в уравнение последнее превращается в тождество при всех значениях аргумента в области ее определения. Решить функциональное уравнение означает установить, имеет ли оно решения, и найти их, если таковые имеются.

Пример 16. (LXVIV Московская математическая олимпиада, окружной тур, 11-й класс, 2006, № 3.) Найти все такие функции f(x), что
f(2x + 1) = 4x 2 + 14x + 7.
Решение. Пусть t = 2x + 1, тогда

Совершив замену переменной в уравнении
f(2x + 1) = 4x 2 + 14x + 7,
получим:

В последнем соотношении для функции f(t) вместо переменной (буквы) t может выступать любая другая переменная (буква). Поэтому, заменив букву t на букву x, получим:
f(x) = x 2 + 5x + 1.
Ответ: f(x) = x 2 + 5x + 1.

Пример 17. (МИЭТ, 1995, № 11 из 11.) Найти f(x), если для всех x ≠ 0 имеет место соотношение

Решение. Предположим, что функция f(x), удовлетворяющая функциональному уравнению

существует. Тогда можно выполнить описанные ниже преобразования.
Пусть тогда и исходное уравнение примет вид:

Получаем систему

Из первого уравнения системы выразим

Подставим во второе уравнение системы. Получим:

получаем f(1) = 1.
Проверкой убеждаемся, что функция f(x) = 1 при всех x ≠ 0 удовлетворяет условию задачи.
Замечание. В условии данной задачи не было указано, что функция f(x), удовлетворяющая функциональному уравнению

существует. Предположив, что такая функция f(x) имеется, мы осуществили логический переход к следствию. Поэтому проверка в этой ситуации необходима.
Ответ: f(x) = 1, x ≠ 0.

Пример 19. (МГУ, экономический факультет, 1997, № 6.) Функция f(x) определена на всей числовой прямой, является нечетной, периодической с периодом 4, и на промежутке 0 ≤ x ≤ 2 ее значения вычисляются по правилу
f(x) = 1 – | x – 1 |.
Решить уравнение
2f(x)∙f(x – 8) + 5f(x + 12) + 2 = 0.
Решение. Раскроем модуль в выражении для функции f(x) на отрезке [0; 2]:

Так как функция f(x) — нечетная, то

По условию, функция f(x) — периодическая с периодом 4. Значит, f(x – 8) = f(x), f(x + 12) = f(x). Значит, исходное уравнение примет вид:

Найдем вначале решения последней совокупности на отрезке [–2; 2] (то есть на одном из полных периодов функции f(x)).
Если f(x) = –2, то:
при x ∈ [–2; –1] получим уравнение –x – 2 =
= –2, решением которого является x = 0, не удовлетворяющее условию x ∈ [–2; –1];
при x ∈ (–1; 1) получим x = –2, что не удовлетворяет условию x ∈ (–1; 1);
при x ∈ [1; 2] получим уравнение –x + 2 = –2, решением которого является x = 4, не удовлетворяющее условию x ∈ [1; 2].
Если f(x) = –0,5, то:
при x ∈ [–2; –1] получим уравнение –x – 2 = –0,5, решением которого является
x = –1,5, –1,5 ∈ [–2; –1];
при x ∈ (–1; 1) получим x = –0,5, –0,5 ∈ (–1; 1);
при x ∈ [1; 2] получим уравнение –x + 2 = –0,5, решением которого является x = 2,5, не удовлетворяющее условию x ∈ [1; 2].
Поскольку функция f(x) является периодической с периодом 4, то окончательно получим две серии решений уравнения
2f(x)∙f(x – 8) + 5f(x + 12) + 2 = 0:
x = –1,5 + 4k, k ∈ Z;
x = –0,5 + 4n, n ∈ Z.
Ответ: –1,5 + 4k, k ∈ Z; –0,5 + 4n, n ∈ Z.

Пример 20. (LXX Московская математическая олимпиада, окружной тур, 11-й класс, 2007, № 4.) Функция f(x) такова, что для любых положительных x и y выполняется равенство
f(xy) = f(x) + f(y). Найти f(2007), если

Решение. По условию f(1∙1) = f(1) + f(1), или f(1) = 2f(1). Значит, f(1) = 0. Кроме того, для всех положительных x выполнено:

Отсюда при x = 2007 получим:

Ответ: –1.
Пример 21. (МГУ, биологический факультет, 2005, № 7.) Функция f(x) такова, что для всех рациональных чисел x и y выполнено равенство f(x + y) = f(x) + f(y). Известно, что f(10) = –π. Найти
Решение. По условию f(0 + 0) = f(0) + f(0), или f(0) = f(0) + f(0). Значит, f(0) = 0. Кроме того,
f(0) = f(x – x), или 0 = f(x + (–x)). Отсюда получим:
f(x + (–x)) = f(x) + f(–x) ⇔ 0 = f(x) + f(–x).
Следовательно, f(–x) = –f(x). Значит,

Таким образом, Отсюда искомое значение
Ответ:

Пример 22. (LXXI Московская математическая олимпиада, окружной тур, 11-й класс, 2008, № 4.) Непрерывная функция f(x) такова, что для всех действительных x выполняется неравенство Верно ли, что функция f(x) обязательно имеет точки экстремума?
Решение. При x = 0 получим:

Аналогично, при x = 1:

Так как непрерывная функция принимает одинаковые значения на концах отрезка [0; 1], то внутри этого отрезка существует хотя бы одна точка максимума или точка минимума.
Замечание. Если для всех x ∈ [0; 1], то любая точка этого отрезка является точкой экстремума.
Ответ: да, верно.

В заключение статьи рассмотрим задачу C5 одного из вариантов ЕГЭ по математике 2009 года.

Пример 23. Решить уравнение
87cos x 2 + (8 – 6x) 4 = x 8 + 87cos (8 – 6x).
Решение. Приведем исходное уравнение к виду
x 8 – 87cos x 2 = (8 – 6x) 4 – 87cos (8 – 6x).
Введем непрерывную четную функцию
f(t) = t 4 – 87cos t.
Найдем ее производную:
f ‘(t) = 4t3 + 87sin t.
При t ∈ (0; π)
f ‘(t) = 4t 3 + 87sin t > 0 + 0 = 0,
при t ∈ [π; +∞)
f ‘(t) = 4t 3 + 87sin t > 4π 3 – 87 > 4∙33 – 87 = 4∙27 – 87 > 0.
Таким образом, f'(t) > 0 при t ∈ (0; +∞), следовательно, f(t) возрастает на промежутке [0; +∞). Значит, каждое свое значение функция принимает в точности в двух симметричных относительно
t = 0 точках (если t = 0, то исходное уравнение не имеет решений, так как при x 2 = 0 не выполняется 8 – 6x = 0), а стало быть, исходное уравнение равносильно совокупности:

Ответ:

В заключение читателю предлагается подборка заданий для самостоятельного решения с ответами. Авторы не сомневаются, что решение этих задач поможет учащимся при подготовке к различным творческим и аттестационным испытаниям.

Задачи для самостоятельного решения

1. (МИЭТ, 2004, № 8 из 11.) Функция f(x) нечетная и периодическая с периодом T = 40. Найдите значение f(2004), если f(–4) = –4,5.

2. (МИЭТ, 2004, № 9 из 11.) Найдите значение f(f(1)), если

3. (МИЭТ, 2002, № 9 из 11.) Пусть

Решите неравенство f(4) ≤ g(f(x + 3)).

4. (МИЭТ, 2002, № 10 из 11.) Постройте график функции y = 2∙| f(f(x)) | – 1, где

5. (МИЭТ, 1999, № 7 из 11.) Изобразите на плоскости Oxy множество точек, координаты которых удовлетворяют условию

где f(x) = x – 2.
6. (МИЭТ, 1998, № 10 из 11.) Постройте график функции y = f(f(x)), где

7. (МИЭТ, 2003, № 10 из 11.) Функция f(x) для каждого x равна наибольшему значению многочлена g(t) = –t 2 – 8t – 15 на отрезке [x – 3; x + 1]. Постройте график функции f(x).

8. Найдите f(x), если:

9. (МИЭТ, 1994, № 6 из 11.) Известно, что равенство
имеет место для всех действительных x. Докажите, что функция f(x) является периодической с периодом 2.

10. (МИЭТ, 1999, № 9 из 11.) Функция f(x), определенная при всех значениях x и не равная 0 ни при каком значении x, удовлетворяет равенству

Найдите f(2004), если f(8) = 5.

12. (МИЭТ, 1995, № 11 из 11.) Найдите f(x), если для всех x имеет место соотношение xf(x) + f(2 – x) = 2(x + 1).

13. (МИЭТ, 2005, № 8 из 11.) Функция f(x) для всех x удовлетворяет равенству f(x + 4) = 2x – 1 – f(x), а при x ∈ [0; 4) задается формулой f(x) = x 2 – 3x.
Найдите f(135).

14. (МГУ, ВМК, устный экзамен, 1997.) Существует ли линейная функция f(x), удовлетворяющая для всех x соотношению
2f(x + 2) + f(4 – x) = 2x + 5?

15. (МГУ, химический факультет, 2001, № 7.) Функция f(x) для всех x удовлетворяет уравнению f(x + 1) = f(x) + 2x + 1. Найдите f(2001), если f(0) = 0.

16. (МГУ, биологический факультет, 2005, № 7.) Функция f(x) такова, что для всех рациональных чисел x и y выполнено равенство
f(x + y) = f(x)∙f(y). Известно, что f(4) = 16. Найдите f(–1,5).

17. (ЕГЭ-2009, задача С5.) Решите уравнение
x 6 – | 7 – 6x |3 = 26cos x 2 – 26cos (7 – 6x).

18. (ЕГЭ-2009, задача С5.) Решите уравнение
x 6 – | 4x + 3 |3 = 25cos x 2 – 25cos (4x + 3).

Ответы: 1. 4,5. 2. 9. 3. [8,5; 13) c (13; +∞).
4.

5.

6.

Источник