Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости

НалоТСния ΠΈ двиТСния (ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅)

Π›ΡŽΠ±ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.

Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ g) ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ являСтся Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΡ‘ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ АВБ. ΠŸΡ€ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ g ΠΎΠ½ отобраТаСтся Π½Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Π΅ΠΌΡƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ А1Π’1Π‘1. По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² сущСствуСт Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ζ’, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А, Π’ ΠΈ Π‘ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ соотвСтствСнно Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А1, Π’1 ΠΈ Π‘1.

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ g совпадаСт с Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ζ’. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π° плоскости найдётся хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½Π° такая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° М, которая ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ g отобраТаСтся Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Πœβ€ž Π° ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ζ’ β€” Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ М2. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈ отобраТСниях Ζ’ u g ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ расстояния, Ρ‚ΠΎ AM = А1М1, AM = А1М2, поэтому A1M1 = А1М2, Ρ‚. Π΅. Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° А1 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π° ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ М1 ΠΈ М2 (рис. 328). Аналогично доказываСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π’1 ΠΈ Π‘1 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ М1 ΠΈ М2. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А1, Π’1 ΠΈ Π‘1 Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° сСрСдинном пСрпСндикулярС ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒ М1М2. Но это Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° А1Π’1Π‘1 Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, отобраТСния Ζ’ u g ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚, Ρ‚. Π΅. Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ g являСтся Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π°.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

НалоТСния и двиТСния

ΠŸΡ€ΠΈ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ:

Из этого утвСрТдСния ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ отобраТаСтся Π½Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Π΅ΠΌΡƒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Ρ‹ А ΠΈ Π’ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° АВ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А1 ΠΈ Π’1. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ АВ отобраТаСтся Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ А1Π’1 (Ρ‚.ΠΊ. согласно аксиомС, Ссли ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΎΠ²ΠΌΠ΅Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Ρ‹ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ², Ρ‚ΠΎ ΡΠΎΠ²ΠΌΠ΅Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈ сами ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ), ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, АВ=А1Π’1. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости Π½Π° сСбя, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ сохраняСт расстояния, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ любоС Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°

Π›ΡŽΠ±ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

Π”Π°Π½ΠΎ: Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости, Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскостиАВБ отобраТаСтся Π² Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскостиА1Π’1Π‘1, Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскостиАВБ=Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскостиА1Π’1Π‘1

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ: Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости— Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ:

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскостиАВБ=Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскостиА1Π’1Π‘1 , Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ сущСствуСт Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А, Π’ ΠΈ Π‘ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А1, Π’1 ΠΈ Π‘1 соотвСтствСнно. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскостисовпадаСт с Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости.

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° найдСтся хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° М, которая ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскостиотобраТаСтся Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ М1, Π° ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскостиотобраТаСтся Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ М2. ΠŸΡ€ΠΈ отобраТСниях Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскостии Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΠΈΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ расстояния, поэтому Π’Πœ=Π’1М1, Π’Πœ=Π’1М2, ΠΎΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° Π’1М1=Π’2М2, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π’1 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π° ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ М1 ΠΈ М2.

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости

Аналогично ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А1 ΠΈ Π‘1 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ М1 ΠΈ М2. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А1, Π’1, ΠΈ Π‘1 Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° сСрСдинном пСрпСндикулярС ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒ М1М2, Π½ΠΎ это Π½Π΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскостиА1Π’1Π‘1 Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, нашС ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΈ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскостисовпадаСт с Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости, Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости являСтся Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π°.

БлСдствиС

ΠŸΡ€ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ любая Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° отобраТаСтся Π½Π° Ρ€Π°Π²Π½ΡƒΡŽ Π΅ΠΉ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ.

ПодСлись с Π΄Ρ€ΡƒΠ·ΡŒΡΠΌΠΈ Π² ΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… сСтях:

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

НалоТСния и двиТСния

Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² нашСм курсС Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ равСнство Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ опрСдСляСтся с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠœΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° Π€ Ρ€Π°Π²Π½Π° Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π΅ Π€ΠΏ Ссли Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ Π€ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ²ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ с Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ΠΎΠΉ Π€1. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ налоТСния Π² нашСм курсС относится ΠΊ основным понятиям Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, поэтому ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ налоТСния Π½Π΅ даётся. Под Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π€ Π½Π° Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ Π€1 ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π€ Π½Π° Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ Π€1 Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΌΡ‹ считаСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ этом Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π€, Π½ΠΎ ΠΈ любая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° плоскости отобраТаСтся Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ плоскости, Ρ‚. Π΅. Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ β€” это ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости Π½Π° сСбя.

Однако Π½Π΅ всякоС ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости Π½Π° сСбя ΠΌΡ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. НалоТСния β€” это Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ отобраТСния плоскости Π½Π° сСбя, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ свойствами, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π² аксиомах (см. ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 1, аксиомы 7β€”13). Π­Ρ‚ΠΈ аксиомы ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ всС Ρ‚Π΅ свойства Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ сСбС прСдставляСм наглядно ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

Π’ самом Π΄Π΅Π»Π΅, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‚. Π΅. ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Ρ‚ΠΎ Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А ΠΈ Π’ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π‘. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° Π€1, состоящая ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ А ΠΈ Π’, Ρ€Π°Π²Π½Π° Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π΅ Π€2, состоящСй ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π‘. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π€2 = Π€1 (аксиома 12), Ρ‚. Π΅. ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° Π€2 отобраТаСтся Π² Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ Π€1. Но это Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ β€” это ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π° ΠΏΡ€ΠΈ любом ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π‘ ставится Π² соотвСтствиС Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° плоскости.

Из Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ утвСрТдСния слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ отобраТаСтся Π½Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Π΅ΠΌΡƒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Ρ‹ А ΠΈ Π’ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° АВ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А1 ΠΈ Π’1. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ АВ отобраТаСтся Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ А1Π’1 (аксиома 7), ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ АВ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒ А1Π’1. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости Π½Π° сСбя, ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΌ расстояния, Ρ‚. Π΅. любоС Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

ГСомСтрия. 9 класс

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ сСбС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ плоскости ставится Π² соотвСтствиС какая-Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° этой ΠΆΠ΅ плоскости, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ любая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° плоскости оказываСтся сопоставлСнной Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. Говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости Π½Π° сСбя. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ отобраТСния плоскости Π½Π° сСбя ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ осСвая ΠΈ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ симмСтрия.
Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ М, Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΡƒΡŽ Π½Π° прямой Π°, ΠΈ построим ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ М1 ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ прямой Π°.

Π’Π°ΠΊ любой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ плоскости ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ поставлСна Π² соотвСтствиС Π΅ΠΉ симмСтричная ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ прямой Π°. ΠŸΡ€ΠΈ этом любая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° М1 оказываСтся сопоставлСнной Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ М.
Аналогично ΠΏΡ€ΠΈ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ симмСтрии.

Π’Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ понятиС Β«Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости». Π”Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости – это ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости Π½Π° сСбя, ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΡΡŽΡ‰Π΅Π΅ расстояниС. Поясним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ М ΠΈ N ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ плоскости, Π° M1 ΠΈ N1 симмСтричныС ΠΈΠΌ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ прямой Π°.

Из Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ N ΠΈ N1 ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Ρ‘ΠΌ пСрпСндикуляры Π N ΠΈ Π N1 ΠΊ прямой МM1. ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ МРN ΠΈ М1Π 1N1 Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ Π΄Π²ΡƒΠΌ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π°ΠΌ: МР = М1Π 1 ΠΈ Π N = Π 1N1. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹ МN ΠΈ M1N1 Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ М ΠΈ N Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΡ‚ΠΎΡΠ½ΠΈΡŽ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ симмСтричными Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ M1 ΠΈ N1. Аналогично ΠΏΡ€ΠΈ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ симмСтрии.

Рассмотрим свойства двиТСния:
ΠŸΡ€ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ отобраТаСтся Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ.
БлСдствиС. ΠŸΡ€ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ отобраТаСтся Π½Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Π΅ΠΌΡƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ любая гСомСтричСская Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° (Π»ΡƒΡ‡, ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅) отобраТаСтся Π½Π° Ρ€Π°Π²Π½ΡƒΡŽ Π΅ΠΉ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ.

НС всякоС ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости Π½Π° сСбя сохраняСт расстояниС. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ гомотСтия, Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ АВБ ΠΈ А1Π’1Π‘1 Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

Π’ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ равСнство Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ устанавливаСтся с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ налоТСния. Говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° Π€1 Ρ€Π°Π²Π½Π° Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π΅ Π€2, Ссли ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ²ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. ΠŸΡ€ΠΈ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ отобраТаСтся Π½Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Π΅ΠΌΡƒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости Π½Π° сСбя, ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΌ расстояниС. Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°: Π›ΡŽΠ±ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

Β§ 1. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ двиТСния

ΠžΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости Π½Π° сСбя

Π‘Π»ΠΎΠ²ΠΎ Β«Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅Β» Π²Π°ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΎ. Но Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΎΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ особый смысл. Какой ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, ΠΎΠ± этом Π²Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΈΠ· Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π³Π»Π°Π²Ρ‹. А ΠΏΠΎΠΊΠ° ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ удаётся Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ красивыС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… гСомСтричСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π²Ρ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Ρ‘Ρ‚Π΅ Π² этой Π³Π»Π°Π²Π΅.

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ сСбС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ плоскости сопоставляСтся (ставится Π² соотвСтствиС) какая-Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° этой ΠΆΠ΅ плоскости, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ любая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° плоскости оказываСтся сопоставлСнной Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости Π½Π° сСбя.

ЀактичСски ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°Π»ΠΈΡΡŒ с отобраТСниями плоскости Π½Π° сСбя β€” вспомним ΠΎΡΠ΅Π²ΡƒΡŽ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ (см. ΠΏ. 48). Она Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ Π½Π°ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ отобраТСния. Π’ самом Π΄Π΅Π»Π΅, ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ Π° β€” ось симмСтрии (рис. 321). Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΡ‘ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ М, Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΡƒΡŽ Π½Π° прямой Π°, ΠΈ построим ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ М1 ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ прямой Π°. Для этого Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ провСсти пСрпСндикуляр МР ΠΊ прямой Π° ΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° прямой МР ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ РМ1, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒ МР, Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС 321. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° М1 ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ искомой. Если ΠΆΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° М Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° прямой Π°, Ρ‚ΠΎ симмСтричная Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° М1 совпадаСт с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ М. ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ осСвой симмСтрии ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ М плоскости сопоставляСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° М, этой ΠΆΠ΅ плоскости. ΠŸΡ€ΠΈ этом любая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° М1 оказываСтся сопоставлСнной Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ М. Π­Ρ‚ΠΎ ясно ΠΈΠ· рисунка 321.

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, осСвая симмСтрия прСдставляСт собой ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости Π½Π° сСбя.

Рассмотрим Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ плоскости (см. ΠΏ. 48). ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ О β€” Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ симмСтрии. КаТдой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ М плоскости сопоставляСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° М1, симмСтричная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ М ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ О (рис. 322). ΠŸΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π°ΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ симмСтрия плоскости Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ прСдставляСт собой ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости Π½Π° сСбя.

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ двиТСния

ОсСвая симмСтрия ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ свойством β€” это ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости Π½Π° сСбя, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ сохраняСт расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ.

Поясним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ М ΠΈ N β€” ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π° М1 ΠΈ N1 β€” симмСтричныС ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ прямой Π° (рис. 323). Из Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ N ΠΈ N1 ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Ρ‘ΠΌ пСрпСндикуляры NP ΠΈ N1P1 ΠΊ прямой ММ1. ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ MNP ΠΈ M1N1P1 Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ Π΄Π²ΡƒΠΌ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π°ΠΌ: МР = М1Π 1 ΠΈ NP = N1P1 (ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ эти ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹). ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹ MN ΠΈ M1N1 Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ М ΠΈ N Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΡ‚ΠΎΡΠ½ΠΈΡŽ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ симмСтричными ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ М1 ΠΈ N1. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ случаи располоТСния Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ М, N ΠΈ М1, N1 рассмотритС ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π² этих случаях MN = M1N1 (рис. 324). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, осСвая симмСтрия являСтся ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ сохраняСт расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ. Π›ΡŽΠ±ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ этим свойством, называСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ).

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости β€” это ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости Π½Π° сСбя, ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΡΡŽΡ‰Π΅Π΅ расстояния.

ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΡΡŽΡ‰Π΅Π΅ расстояния, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ), ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ осСвой симмСтрии. Π•Ρ‘ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ плоскости Π² пространствС Π½Π° 180Β° Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ оси Π°. На рисункС 325 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ происходит Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚.

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости

ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ симмСтрия плоскости Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ рисунком 326, ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ Π² этом ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ).

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ:

ΠŸΡ€ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ отобраТаСтся Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ плоскости ΠΊΠΎΠ½Ρ†Ρ‹ М ΠΈ N ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° MN ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ М1 ΠΈ N1 (рис. 327). Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ вСсь ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ MN отобраТаСтся Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ M1N1. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π  β€” ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° MN, Π 1 β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ отобраТаСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° МР + PN = MN. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ расстояния ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ, Ρ‚ΠΎ

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости

Из равСнств (1) ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ М1Π 1 + P1N1 = M1N1, ΠΈ, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π 1 Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ M1N1 (Ссли ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ нСравСнство М1Π 1 +P1N1 > M1N1). Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° MN ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° M1N1.

НуТно Π΅Ρ‰Ρ‘ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π 1 ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° M1N1 отобраТаСтся какая-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π  ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° MN. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ это. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π 1 β€” ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° M1N1, ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π  ΠΏΡ€ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ отобраТаСтся Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π 1. Из ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ (1) ΠΈ равСнства M1N1 = М1Π 1 + P1N1 слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ МР + PN = MN, ΠΈ, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π  Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ MN. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π°.

ΠŸΡ€ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ отобраТаСтся Π½Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Π΅ΠΌΡƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ.

Π’ самом Π΄Π΅Π»Π΅, Π² силу Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ каТдая сторона Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° отобраТаСтся Π½Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Π΅ΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ, поэтому ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ отобраТаСтся Π½Π° Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ с соотвСтствСнно Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ сторонами, Ρ‚. Π΅. Π½Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ.

ΠŸΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΎΠΉ, Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ прямая отобраТаСтся Π½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, Π»ΡƒΡ‡ β€” Π½Π° Π»ΡƒΡ‡, Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» β€” Π½Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Π΅ΠΌΡƒ ΡƒΠ³ΠΎΠ».

НалоТСния и двиТСния

Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² нашСм курсС Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ равСнство Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ опрСдСляСтся с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠœΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° Π€ Ρ€Π°Π²Π½Π° Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π΅ Π€ΠΏ Ссли Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ Π€ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ²ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ с Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ΠΎΠΉ Π€1. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ налоТСния Π² нашСм курсС относится ΠΊ основным понятиям Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, поэтому ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ налоТСния Π½Π΅ даётся. Под Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π€ Π½Π° Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ Π€1 ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π€ Π½Π° Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ Π€1 Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΌΡ‹ считаСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ этом Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π€, Π½ΠΎ ΠΈ любая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° плоскости отобраТаСтся Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ плоскости, Ρ‚. Π΅. Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ β€” это ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости Π½Π° сСбя.

Однако Π½Π΅ всякоС ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости Π½Π° сСбя ΠΌΡ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. НалоТСния β€” это Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ отобраТСния плоскости Π½Π° сСбя, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ свойствами, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π² аксиомах (см. ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 1, аксиомы 7β€”13). Π­Ρ‚ΠΈ аксиомы ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ всС Ρ‚Π΅ свойства Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ сСбС прСдставляСм наглядно ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

Π’ самом Π΄Π΅Π»Π΅, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‚. Π΅. ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Ρ‚ΠΎ Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А ΠΈ Π’ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π‘. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° Π€1, состоящая ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ А ΠΈ Π’, Ρ€Π°Π²Π½Π° Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π΅ Π€2, состоящСй ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π‘. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π€2 = Π€1 (аксиома 12), Ρ‚. Π΅. ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° Π€2 отобраТаСтся Π² Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ Π€1. Но это Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ β€” это ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π° ΠΏΡ€ΠΈ любом ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π‘ ставится Π² соотвСтствиС Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° плоскости.

Из Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ утвСрТдСния слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ отобраТаСтся Π½Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Π΅ΠΌΡƒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Ρ‹ А ΠΈ Π’ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° АВ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А1 ΠΈ Π’1. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ АВ отобраТаСтся Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ А1Π’1 (аксиома 7), ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ АВ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒ А1Π’1. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости Π½Π° сСбя, ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΌ расстояния, Ρ‚. Π΅. любоС Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости.

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Π›ΡŽΠ±ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.

Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ g) ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ являСтся Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΡ‘ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ АВБ. ΠŸΡ€ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ g ΠΎΠ½ отобраТаСтся Π½Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Π΅ΠΌΡƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ А1Π’1Π‘1. По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² сущСствуСт Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ζ’, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А, Π’ ΠΈ Π‘ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ соотвСтствСнно Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А1, Π’1 ΠΈ Π‘1.

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ g совпадаСт с Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ζ’. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π° плоскости найдётся хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½Π° такая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° М, которая ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ g отобраТаСтся Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Πœβ€ž Π° ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ζ’ β€” Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ М2. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈ отобраТСниях Ζ’ u g ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ расстояния, Ρ‚ΠΎ AM = А1М1, AM = А1М2, поэтому A1M1 = А1М2, Ρ‚. Π΅. Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° А1 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π° ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ М1 ΠΈ М2 (рис. 328). Аналогично доказываСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π’1 ΠΈ Π‘1 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ М1 ΠΈ М2. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А1, Π’1 ΠΈ Π‘1 Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° сСрСдинном пСрпСндикулярС ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒ М1М2. Но это Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° А1Π’1Π‘1 Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, отобраТСния Ζ’ u g ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚, Ρ‚. Π΅. Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ g являСтся Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π°.

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости

ΠŸΡ€ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ любая Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° отобраТаСтся Π½Π° Ρ€Π°Π²Π½ΡƒΡŽ Π΅ΠΉ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ

1148. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ осСвой симмСтрии плоскости:

Π°) прямая, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ оси симмСтрии, отобраТаСтся Π½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ оси симмСтрии;
Π±) прямая, пСрпСндикулярная ΠΊ оси симмСтрии, отобраТаСтся Π½Π° сСбя.

1149. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ симмСтрии плоскости:

Π°) прямая, Π½Π΅ проходящая Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ симмСтрии, отобраТаСтся Π½Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π΅ΠΉ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ;
Π±) прямая, проходящая Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ симмСтрии, отобраТаСтся Π½Π° сСбя.

1150. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» отобраТаСтся Π½Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Π΅ΠΌΡƒ ΡƒΠ³ΠΎΠ».

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΠžΠ’ отобраТаСтся Π½Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» A1O1B1, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А, О, Π’ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ соотвСтствСнно Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A1, О1, Π’1. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ расстояния, Ρ‚ΠΎ ОА = О1А1, ΠžΠ’ = О1Π’1. Если ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΠžΠ’ Π½Π΅Ρ€Π°Π·Π²Ρ‘Ρ€Π½ΡƒΡ‚Ρ‹ΠΉ, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΠΠžΠ’ ΠΈ А1О1Π’1 Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€Ρ‘ΠΌ сторонам, ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ∠AOB = ∠A1O1B1. Если ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΠžΠ’ Ρ€Π°Π·Π²Ρ‘Ρ€Π½ΡƒΡ‚Ρ‹ΠΉ, Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» А1О1Π’1 Ρ€Π°Π·Π²Ρ‘Ρ€Π½ΡƒΡ‚Ρ‹ΠΉ (Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ это), поэтому эти ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

1151. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прямыС ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прямыС.

1152. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ: Π°) ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ отобраТаСтся Π½Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ; Π±) трапСция отобраТаСтся Π½Π° Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΡŽ; Π²) Ρ€ΠΎΠΌΠ± отобраТаСтся Π½Π° Ρ€ΠΎΠΌΠ±; Π³) ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ отобраТаСтся Π½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ β€” Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚.

1153. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ отобраТаСтся Π½Π° ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ радиуса.

1154. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ каТдая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° отобраТаСтся Π½Π° сСбя, являСтся Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.

1155. АВБ ΠΈ А1Π’1Π‘1 β€” ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сущСствуСт Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А, Π’ ΠΈ Π‘ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А1, Π’1, Π‘1.

1156. Π’ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°Ρ… АВБ ΠΈ А1Π’1Π‘1 АВ = А1Π’1, АБ = А1Π‘1, Π’Π‘ = Π’1Π‘1. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сущСствуСт Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А, Π’ ΠΈ Π‘ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А1, Π’1 ΠΈ Π‘1, ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡ‚ΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ.

По ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ АВБ ΠΈ А1Π’1Π‘1 Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€Ρ‘ΠΌ сторонам. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, сущСствуСт Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‚. Π΅. Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А, Π’ ΠΈ Π‘ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ соотвСтствСнно Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А1, Π’1 ΠΈ Π‘1. Π­Ρ‚ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся СдинствСнным Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А, Π’ ΠΈ Π‘ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ соотвСтствСнно Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А1, Π’1 ΠΈ C1 (Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1155).

1157. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π²Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, Ссли смСТныС стороны ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° соотвСтствСнно Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ смСТным сторонам ΠΈ ΡƒΠ³Π»Ρƒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°.

1158. Π”Π°Π½Ρ‹ Π΄Π²Π΅ прямыС Π° ΠΈ b. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ отобраТаСтся прямая b ΠΏΡ€ΠΈ осСвой симмСтрии с осью Π°.

1159. Π”Π°Π½Ρ‹ прямая Π° ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Ρ‘Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ABCD. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ F, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ отобраТаСтся Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Ρ‘Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΈ осСвой симмСтрии с осью Π°. Π§Ρ‚ΠΎ прСдставляСт собой Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° F?

1160 Π”Π°Π½Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° О ΠΈ прямая b. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ отобраТаСтся прямая b ΠΏΡ€ΠΈ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ симмСтрии с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ О.

1161 Π”Π°Π½Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° О ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ АВБ. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ F, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ отобраТаСтся Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ АВБ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ симмСтрии с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ О. Π§Ρ‚ΠΎ прСдставляСт собой Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° F?

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΊ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°ΠΌ

1151. Π£ΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠ΅. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ.

1154. Π£ΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠ΅. Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΏ. 119.

1155. Π£ΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠ΅. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ провСсти ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ (см. Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΏ. 119).

1157. Π£ΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠ΅. Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°ΠΌΠΈ 1156 ΠΈ 1051.

1158. Π£ΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠ΅. Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ…-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ прямой b.

1159. F β€” Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Ρ‘Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ.

1160. Π£ΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠ΅. Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ 1158.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *