какие фракталы изображены на рисунках
Фрактальная графика – популярное направление компьютерного рисунка
В век цифровых технологий все реже встречаются художники, рисующие кистью или карандашом. Большая часть людей этой профессии уже перешли на современные планшеты и специальный софт. Конечно же, живые рисунки ценятся по-прежнему высоко. Но игнорировать новые инструменты, которые предоставляет прогресс уже не получится. Фрактальная графика, растровая и векторная – это новый вид искусства. Особое место в компьютерном рисунке занимают фракталы. Они являются неким симбиозом математики и изобразительного искусства.
Фрактальная графика – что это?
Сегодня фрактальная графика – это одна из самых современных и продвинутых технологий создания компьютерных изображений. Состоят такие рисунки из фракталов – особых структур, представляющих собой сложную сеть самоподобных фрагментов. Если взять небольшой элемент фрактала, то можно получить четкое представление обо всем объекте.
Каждый из нас уже встречался с фрактальной графикой. К ней можно смело отнести узоры на коврах, висевших на стенах в каждой советской квартире. Сегодня на многих сайтах можно встретить заставки или рисунки из повторяющихся по форме элементов.
Фрактальная графика природных объектов
Самым наглядным примером фрактальной графики в природе можно назвать капусту Романеско. Это довольно распространенный продукт в Италии. По своему строению этот овощ похож на пирамиду, состоящую из маленьких таких-же пирамид. Каждая частичка этого фрактального растительного объекта повторяет свойства целого овоща.
Капуста Романеско не единственный пример. Свойствами фрактальной графики обладают многие объекты вокруг нас. Это: ветки деревьев, морские кораллы, облака, органы и системы человека. Они тоже являются по сути фракталами. Вспомните лишь как выглядят на картинках легкие, система кровеносных сосудов или мозг человека. Несмотря на очевидную сложность этих объектов, многие из них могут быть описаны простыми математическими формулами.
Уравнения
Компьютерной фрактальной графикой управляют математические уравнения. Стоит изменить в каком-то из них хоть один коэффициент, и уже получается совсем другое изображение. Эта математическая идея очень понравилась современным художникам. Ведь с помощью всего нескольких математических выражений можно задать линии, а также объемные объекты весьма замысловатой формы.
Фрактальная компьютерная графика – это современный способ создания абстрактных композиций, в которых появляется возможность реализовать множество приемов: горизонтали, вертикали, диагонали, симметрию, асимметрию. Все элементы этих объектов подобны, а в совокупности представляют собой сложную композицию. Люди научились этому относительно недавно. Но, в природе фрактальные формы существовали всегда. Самые простые их примеры – снежинки.
Что такое фракталы?
Сами по себе фракталы не имеют общепринятого строгого определения. К фрактальным формам относят объекты, если они обладают такими свойствами, как:
Софт для фрактальной графики
Сегодня существует специальный компьютерный софт, с помощью которого можно создавать рисунки с помощью фрактальной графики. Наиболее популярные из них:
Теперь вы представляете, что такое фрактал и фрактальная графика. И, возможно, отныне станете замечать больше подобных объектов вокруг себя.
Созерцание великого фрактального подобия
(с) «Галактика галактик»
Фракталы — не просто красивое природное явление. Согласно проведенным исследованиям, рассматривание фрактальных структур на 60 % повышает стрессоустойчивость, измеряемую на основе физиологических показателей. При созерцании фракталов в лобной коре головного мозга всего за одну минуту увеличивается активность альфа-волн — как во время медитации или при ощущении легкой сонливости.
Неудивительно, что фрактальный биодизайн оказывает на человека умиротворяющее воздействие. Нам нравится смотреть на облака, на языки пламени в камине, на листву в парке… Как это работает? Ученые предполагают, что естественный ход поисковых движений наших глаз — фрактальный. При совпадении размерности траектории движения глаз и фрактального объекта мы впадаем в состояние физиологического резонанса, за счет чего активизируется деятельность определенных участков мозга.
Но не все фракталы одинаково полезны. В данной статье расскажем о фрактальной размерности и о её влиянии на здоровье.
Биофракталы
(с)
Примеры фракталов в природе встречаются повсеместно: от ракушек до сосновых шишек. Каждый фрактал имеет математическую размерность D. Для человека наиболее полезны фракталы с размерностью 1,3—1,5, и большинство фрактальных объектов, созданных природой, имеют именно такую размерность. А глаз человека эстетически «настроен» на восприятие как раз таких, встречающихся в природе фракталов.
Прекрасным примером фракталов в природе являются деревья. Фракталы можно обнаружить на каждом уровне лесной экосистемы — от семян и сосновых шишек до ветвей и листьев. На иллюстрации выше запечатлена «застенчивая крона» — явление, когда кроны деревьев не соприкасаются, формируя локальные участки лесного полога.
С биологической точки зрения такое расположение крон объясняется естественным отбором — листья расположены как можно дальше друг от друга, чтобы максимизировать доступ к ресурсам, особенно к солнечному свету для фотосинтеза.
Итальянская капуста романеско имеет сверхэффективную конструкцию, позволяющую максимизировать воздействие солнечного света и транспортировать питательные вещества по всей клеточной структуре растения.
Однако размерность этой капусты — 2,66. Вообще, дробная размерность является ключевой особенностью фракталов. При этом большинство из них находится в плоскости между линией (размерность 1) и двухмерной поверхностью (размерность 2). Чем выше показатель, тем больше движение в сторону трехмерных объектов (размерность 3).
Компьютерные игры
Трехмерные фракталы — одни из самых редких в природе. Гораздо проще встретить их в виртуальной реальности. Например, в игре Marble Marcher — уникальной аркаде, где нужно прокатить шар к цели в пространстве, созданном единым всеобъемлющим алгоритмом. Практически все, что вы увидите в игре, создано не дизайнерами, а чистой математикой.
Yedoma Globula — это 3D-песочница на самописном движке, в которой можно исследовать процедурно создаваемые фрактальные ландшафты.
Фрактальные формулы можно использовать в компьютерной графике для создания реалистичных гор, рек, лесов и облаков. Игра Everything пошла гораздо дальше: в ней помимо визуальной составляющей в системообразующей части геймплея использовано фрактальное подобие. Тут фактически нет NPC-персонажей. Вы можете начать игру в образе свиньи, которая бродит по зеленым склонам и встречает дуб, а затем стать дубом, который отправится в самостоятельное путешествие.
Гаджеты
Использовать фракталы как «что-то полезное» можно не только в компьютерных играх или для релаксации. Именно фракталы подсказали способ уменьшения размера антенн для сотовых телефонов. Фрактальная геометрия расширяет способность создавать новые, более практичные устройства.
Сейчас фракталы используются в новом поколении спутниковой связи, в устройствах IoT и других проектах приема, передачи и преобразования радиоволн.
Архитектура
Фракталы можно использовать даже неосознанно. На фото выше изображен фрагмент купола иранской мечети. А здесь вы найдете множество фотографий потолков школ, культурных и религиозных сооружений в Иране, которые демонстрируют невероятно сложные фрактальные рельефы и мозаики, декорирующие изысканные архитектурные элементы.
Храм Деви Джагадамби в Кхаджурахо — отличный пример фрактальной архитектуры. Индийские и многие другие храмы Юго-Восточной Азии имеют фрактальную структуру: главная башня окружена башнями меньшего размера, те в свою очередь — еще более маленькими башнями. И так до восьми (а порой и больше) уровней, представляющих различные аспекты индуистского мифологического пантеона.
Фракталы в архитектуре — не уникальное изобретение одной части света. Сложное убранство готической, ренессансной и барочной архитектуры, особенно выраженное в соборах, часто демонстрирует фрактальное копирование и масштабирование на нескольких уровнях. Характерное для европейской архитектуры с конца XII в. переплетение арок скорее имело не эстетическое, а практическое значение: оно было разработано для укрепления окон и стен против давления ветра.
С конца XX века фрактальную геометрию использовали осознанно для создания интересных и приятных глазу фасадов. На фото — здание одного из самых сложных в архитектурном плане комплексов, расположенное в мельбурнском городском районе (Австралия). В комплексе объединены культурные, рекреационные и коммерческие проекты.
Опасные фракталы
Большинство фрактальных изображений, генерируемых математическими, естественными и человеческими процессами, обладают общим эстетическим качеством, основанным на визуальной сложности. Участники тестов визуального восприятия предпочитают фракталы именно естественного происхождения с размерностью 1,3—1,5. Для примера: волны и облака имеют размерность 1,3, береговая линия — 1,05.
А что, если увеличить размерность? Получившийся объект не всегда будет приятно разглядывать. На иллюстрации выше изображена картина распределения электрического разряда с размерностью 1,75, известная как фигура Лихтенберга, созданная высоковольтным электрическим разрядом на непроводящем материале.
Еще один отталкивающий объект — фрактальный продукт кристаллических структур с размерностью 1,8, сфотографированный через микроскоп.
Демосцена & софт
Пожалуй, нигде так красочно не исследовали мир фракталов, как в демосцене. Hartverdrahtet — достойный победитель конкурса демосцены 2012 года по 4-килобайтным файлам. Автор, Demoscene Passivist, говорит, что для создания демо с процедурно генерируемыми фрактальными ландшафтами потребовалось около двух месяцев.
А вот один из лучших проектов с фрактальными эффектами в демосцене. К сожалению, качество демонстрационного видео крайне плохое (из-за давности лет), но демо можно скачать и запустить на компьютере.
Для создания подобных или других фрактальных миров особых ухищрений не требуется. Есть несколько отличных программ, с помощью которых вы сможете самостоятельно изучать особенности фрактальной вселенной.
XaoS Open Source Project. Бесплатный, открытый, кроссплатформенный инструмент для масштабирования и изучения множества Мандельброта и десятков других фракталов.
JWildfire. Еще одна кроссплатформенная (в том числе с мобильной версией) программа, основанная на Java с открытым исходным кодом, для обработки изображений. Она известна в основном своим сложным генератором пламенных фракталов.
Mandelbulber | Mandelbulb3D. Превосходные бесплатные инструменты для создания трехмерных фракталов, таких как устрашающая Оболочка Мандельброта, загадочная «коробка» Мандельбокс и др. Mandelbulber несколько более функционален и быстр, но Mandelbulb3D чуть проще в использовании.
По ссылке вы найдете множество других программ.
Фракталы вокруг нас
Математика,
если на нее правильно посмотреть,
отражает не только истину,
но и несравненную красоту.
Бертранд Рассел.
История появления.
Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. Кантор с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая Пыль Кантора). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками. Пеано нарисовал особый вид линии (рисунок №1). Для ее рисования Пеано использовал следующий алгоритм.
На первом шаге он брал прямую линию и заменял ее на 9 отрезков длинной в 3 раза меньшей, чем длинна исходной линии (Часть 1 и 2 рисунка 1). Далее он делал то же самое с каждым отрезком получившейся линии. И так до бесконечности. Ее уникальность в том, что она заполняет всю плоскость. Доказано, что для каждой точки на плоскости можно найти точку, принадлежащую линии Пеано. Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов. Они не имели четкой размерности. Пыль Кантора строилась вроде бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек (размерность 0). А кривая Пеано строилась на основании одномерной линии, а в результате получалась плоскость. Во многих других областях науки появлялись задачи, решение которых приводило к странным результатам, на подобие описанных выше (Броуновское движение, цены на акции).
Отец фракталов
Немного о размерностях.
Для двумерных объектов увеличение в два раза линейных размеров приводит к увеличению размера (например, площадь прямоугольника) в четыре раза (2^2).
Для 3-х мерных объектов увеличение линейных размеров в два раза приводи к увеличению объема в восемь раз (2^3) и так далее.
Таким образом, размерность D можно рассчитать исходя из зависимости увеличения «размера» объекта S от увеличения линейных размеров L. D=log(S)/log(L). Для линии D=log(2)/log(2)=1. Для плоскости D=log(4)/log(2)=2. Для объема D=log(8)/log(2)=3. Может быть немного запутано, но в общем-то несложно и понятно.
Фракталы делятся на группы. Самые большие группы это:
Геометрические фракталы.
Рассмотренная выше кривая Пеано является геометрическим фракталом. На рисунке ниже приведены другие примеры геометрических фракталов (слева направо Снежинка Коха, Лист, Треугольник Серпинского).
Снежинка Коха
Лист
Треугольник Серпинского
Размерность снежинки Коха (при увеличении снежинки в 3 раза ее длина возрастает в 4 раза) D=log(4)/log(3)=1.2619.
Для построения геометрических фракталов хорошо приспособлены так называемые L-Systems. Суть этих систем состоит в том, что имеется определенных набор символов системы, каждый из которых обозначает определенное действие и набор правил преобразования символов. Например, описание снежинки Коха с помощью L-Systems в программе Fractint
В данном описании геометрические значения символов следующие:
Сразу оговорюсь, что большинство рисунков фракталов в данной статье получены с помощью программы Fractint. Если Вас заинтересовали фракталы, то это программа must have для Вас. С ее помощью можно строить сотни различных фракталов, получить исчерпывающую информацию по ним, и даже послушать как фракталы звучат ;).
Для его построения нам необходимы комплексные числа. Любой уважающий себя язык программирования включает в себя инструментарий для работы с комплексными числами, а даже если и нет, то их несложно запрограммировать и самим, и на крайний случай (а таких, я думаю, будет большинство :)) у нас есть Fractint которая все посчитает и нарисует за нас.
Комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень и извлекать корень, нельзя только их сравнивать. Комплексное число можно изобразить как точку на плоскости, у которой координата Х это действительная часть a, а Y это коэффициент при мнимой части b.
Функционально множество Мандельброта определяется как Zn+1=Zn*Zn+C. Для построения множества Мандельброта воспользуемся алгоритмом на псевдо Бейсике (легко для понимания и перевода на любимые языки).
Меняя функцию, условия выхода из цикла можно получать другие фракталы. Например, взяв вместо выражения С=a+bi выражение Z0=a+bi, а С присваивать произвольные значения мы получим множество Жюлиа, тоже красивый фрактал.
На рисунке, изображающем множество Мандельброта я взял небольшой участок и увеличил его до размеров всего экрана (как в микроскоп). Что же мы видим? Проявление самоподобности. Не точной самоподобности, но близкой и с ней мы будем сталкиваться постоянно, увеличивая части нашего фрактала больше и больше. До каких же пор мы можем увеличивать наше множество? Так вот если мы увеличим его до предела вычислительной мощности компьютеров, то покроем площадь равную площади солнечной системы вплоть до Сатурна.
Стохастические фракталы.
Типичный представитель данного класса фракталов «Плазма».
Если в L-systems (алгебраических фракталах) речь шла о замене прямой линии неким полигоном, то в IFS мы в ходе каждой итерации заменяем некий полигон (квадрат, треугольник, круг) на набор полигонов, каждый их которых подвергнут аффинным преобразованиям. При аффинных преобразованиях исходное изображение меняет масштаб, параллельно переносится вдоль каждой из осей и вращается на некоторый угол.
Фракталы и хаос.
При с=3.45 она раздваивается снова и у нас уже имеется четырехлетний цикл.
И в точке 3.57 начинается хаос. Значения выражения не имеют какой либо периодичности или структуры. На рисунке изображена зависимость поведения функции от величины с.
Ну и на закуску интересный пример. Вы ведь доверяете своему компьютеру? Я имею в виду вы считаете, что он очень точная и быстрая машина. Тогда запустите Microsoft Excel. Введите в ячейки А1 и B1 значение 4. В ячейки A2 и B2 одинаковые значения между 0 и 1. В ячейку A3 введите формулу «=$A$1*A2*(1-A2)», а в ячейку B3 введем ту же формулу, только раскроем скобки «=$B$1*(B2-B2*B2)», а в ячейку С3 поместим формулу разности «=A3-B3». Как и следовало ожидать результаты в ячейках A3 и B3, а разница равна 0. Теперь выделяем диапазон A3:C3 и копируем его в нижние 100 строк и смотрим что у нас происходит. Начиная с 5-7 строки мы видим, что появилась небольшая разница в результате 2 формул. Эта разница довольно быстро возрастает и на 50 шагу эта разница уже по величине равна нашим числам. Более того разные процессоры будут давать разные результаты. Возникает закономерный вопрос: какое же значение верно? Правильный ответ: «Никакое!». Начиная с определенного места ВСЕ современные компьютеры дают неверный результат. Вот такой простой задачкой мы поставили нашего «мистера-точность» в тупик :(.
Еще раз вспомните про прогноз погоды и самолеты. А ведь это только цветочки.
Вот и подошла к концу наша экскурсия в мир фракталов. Надеюсь она Вам понравилась. Я только немного приоткрыл Вам завесу в мир фракталов.
Если хотите изучить фракталы поподробнее зайдите на страничку http://www.eclectasy.com/fractovia/. Вы найдете там десятки программ рисования фракталов, некоторые с хорошими объяснениями.
Если Вы неплохо знаете английский, то лучше документации, чем та которая распространяется с программой Fractint не найти.
Что такое фракталы? Мир вокруг нас. Часть первая
«Вся сложность в простоте»
«. всё фрактально повторяется в этом материальном мире…»
«СОЗНАНИЕ И ЛИЧНОСТЬ. От заведомо мёртвого к вечно Живому»
Что такое фрактал
Что такое фрактал? Как устроен мир вокруг нас? Что лежит в основе всего? Почему наша Галактика по форме похожа на раковину Наутилуса, человеческий глаз на космическую туманность, а клетки мозга на всю нашу Вселенную?
Кому из вас не доводилось видеть похожие формы в живых и неживых объектах? Будто одна и та же формула, пронизывает всё вокруг.
Рис. 1. Фотография Вселенной, клетки мозга, рождение звезды, деление клетки, глаз человека и туманности
Схожие формы встречаются повсюду, от микро- до макромира: в минералах, растениях и животном мире, в структуре ДНК, в природных явлениях (циклоны, молнии, береговые линии), планетарных системах и звёздных скоплениях. Они присутствуют и в живых организмах.
Каковы закономерности и в чём причина такого сходства? Объяснением этому является фрактал. Фрактальность также прослеживается как в самом человеке, так и во взаимоотношениях в семье, коллективе и обществе в целом.
Рис. 2. Пример фракталов: клетки лука и эзоосмическая решётка
Фрактал (лат. «fractus» – дроблёный) – самоподобие (копирование) геометрических фигур, где каждый фрагмент дублируется в уменьшающемся масштабе. В природе это явление встречается очень часто.
Можно сказать, что фрактал – это узор, который повторяет сам себя в разных масштабах до бесконечно малого или/и бесконечно большого. Он рождается не просто повторением форм, а скорее повторением процесса, который применяется к форме. Бесконечная цепочка самопостроения.
В природе ярким примером такого узора является капуста сорта «Романеско».
Рис. 3. Пример фрактала в природе, капуста «Романеско»
История открытия фракталов
Опираясь на найденные интересные артефакты, мы видим, что знаниями о фракталах располагали люди ещё в древности. Их изображение мы находим на керамике Трипольской культуры (с 5450 по 2700 год. до н. э.), в очертаниях построения селений и городищ, архитектуре зданий. Более подробно об этом будет рассказано во второй части статьи.
На данный момент нам не известно, каким термином называли наши предки явление самоподобия объектов. Но точно можно сказать, что знания о фракталах входили в раздел «сакральной геометрии» прошлого. Понимание математической закономерности всего миропорядка было естественным ещё тысячелетия назад.
К примеру, выдающемуся зодчему Древнего Египта Имхотепу удалось возвести первую в той стране ступенчатую пирамиду – грандиозное фрактальное сооружение с чёткими математическими пропорциями. К слову сказать, группа близких Имхотепу людей называли Бога не иначе как Великим Зодчим Мироздания. А во времена существования ордена Тамплиеров по всей Европе получил широкое распространение готический стиль архитектуры – воплощение сакральной геометрии и фрактальных узоров в камне.
Однако, со временем учёные выбрали другой, материалистический путь развития науки, который увёл нас далеко от этих знаний, и божественные законы были забыты.
Как современники пришли к понятию «фрактал»
В области изучения фракталов ещё в конце ХIX – начале ХХ веков работали многие учёные: Пьер Фату, Жюль Анри Пуанкаре, Георг Кантор, Феликс Хаусдорф, Гастон Жюлиа. Они и заложили математическую базу для появления теории фракталов.
Появление вычислительных устройств позволило ускоренно проводить итерации (многократно повторяющийся процесс вычисления) и визуализировать формулы. А сама идея ввести формулу Гастона Жюлиа в компьютер и с его помощью произвести громоздкие расчеты пришла в голову Мандельброту приблизительно в 1977 году. Раз за разом, меняя переменную C, он получал новые удивительные изображения. Таким образом, множества Жюлиа приобрели геометрические формы. (см. Множества Жюлиа). В 1980 г. программа отпечатала нечто похожее на кляксу. (см. фрактал Мандельброта). Это простое на первый взгляд изображение при приближении выявляет в себе новые и новые отображения множеств Жюлиа, которым нет предела.
Рис. 4. Изображения фракталов. Фрактал Мандельброта. Множество Жюлиа
Много современных учёных успешно работали в данном направлении. Заслуга Бенуа заключается в том, что он первым визуализировал уже имеющиеся формулы, показав всему миру их невероятную красоту, и дал ныне существующее название этому явлению.
Виды фракталов
Фракталы бывают разных видов, рассмотрим некоторые из них:
Геометрические виды фракталов являются самыми наглядными и простыми в строении. Увидеть их может любой человек. Множество таких фракталов можно нарисовать на обычном листке бумаги в клетку. Примером являются: Треугольник Серпинского, Снежинка Коха, Н-фрактал, Т-фрактал, Дракон, Кривая Леви, Дерево Пифагора.
Рис. 5. Примеры геометрических фракталов
Рассмотрим принцип построения фракталов на примере – «Снежинки Коха» (рис. 6).
Он строится путём многократного разделения отрезка линии на 3 равные части и замены средней части на 2 новых отрезка той же длины. Число сторон каждый раз учетверяется, вследствие чего становится бесконечно великим. Периметр снежинки имеет бесконечную длину, но площадь при этом конечна, так как фигура является замкнутой.
Рис. 6. Фрактал – «Снежинка Коха»
«Снежинка Коха» стала основой фрактальных антенн, которые мы используем в мобильных устройствах. Благодаря такой форме антенны имеют компактный размер с широким диапазоном действия.
Рис. 7. Примеры фрактальных антенн
По принципу построения интересен также «Треугольник Серпинского».
Возьмём равносторонний треугольник, отметим середины его сторон.
Соединим срединные точки прямыми линиями. Образовались 4 треугольника.
Центральный треугольник вынимаем и «выкидываем».
Теперь повторим эту операцию с каждым из вновь образовавшихся треугольников. И так до бесконечности.
Рис. 8. Построение треугольника Серпинского
Из этого примера легко увидеть, что количество треугольников увеличивается, и сумма их периметров (сумма сторон треугольников) стремится к бесконечности, а сумма площадей – к нулю.
Треугольник Серпинского имеет нулевую площадь. Разбирая способ построения, можно увидеть, что «вынимая» из треугольника всё наполнение после каждой итерации (повторение операции построения), мы постоянно уменьшаем его площадь и в результате сводим её к нулю.
Это самая крупная группа фракталов, которая базируется на основе разных алгебраических формул. Ярким примером является фрактал Мандельброта. В настоящее время их принято отображать в цвете. Получаются красивейшие необычные орнаменты, которые используют, например, в дизайне одежды.
Рис. 9. Изображения алгебраических фракталов
Не менее популярным является способ построения, основанный на комплексной динамике. В результате образуются фракталы, напоминающие живые организмы – биоморфы. (рис.10).
Рис. 10. Изображения фракталов – «биоморфы»
Строятся путём хаотического изменения некоторых параметров. При этом получаются объекты, очень похожие на природные. Фракталы данного вида широко применяются в киноиндустрии. С помощью компьютерной графики создаются искусственные горы, облака, поверхности моря, планеты, береговые линии, несимметричные деревья (рис.11). Также представителем данного вида является – «плазма» в природе:
Рис. 11. Стохастические фракталы
Концептуальные (социокультурные, непространственные) фракталы
Этот вид объединяет непространственные структуры, выходящие за рамки геометрической фрактальности. Принцип многоуровневого самоподобия заложен в культурных произведениях. В художественных текстах (стихах для детей, народных песнях, в музыкальных произведениях и сказках) часто встречается «рассказ в рассказе».
«У попа был двор, на дворе был кол, на колу мочало – не начать ли сказочку сначала. У попа был двор. »
Дедка, бабка, внучка.
Дедка, бабка, внучка, Жучка и т.д.
Фрактальность наблюдается в организации человеческих поселений (страна – город – квартал); в распределении общества на группы (народ – социокультурная группа – семья – человек). Сюда же отнесём фрактальность взаимоотношений, которые начинаются с самого человека. Меняется человек, его восприятие, внутреннее состояние – изменяется взаимоотношение в семье, коллективе, в итоге преобразуется всё общество. Прослеживается фрактальность в иерархических системах управления.
ФРАКТАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В ПРИРОДЕ
Рис. 12. Фракталы в природе
Один из наглядных примеров фрактальной формы – береговые линии, которые отличаются друг от друга степенью своей изрезанности. Нет абсолютно одинаковых протоков, но их общие очертания как будто нарисованы одним лекалом. Эти очертания независимо от размера очень похожи. Маленький проток – это уменьшенная копия большого. Если увеличить верхний правый угол картинки, то она будет аналогична всей картине, изображенной на рисунке.
Рис. 13. Береговые линии
Растительный мир нашей зелёной планеты богат и разнообразен. На первый взгляд кажется, что в нём нет никакой закономерности: растения в лесу расположены беспорядочно, ветки с листьями на растениях тоже. Но возьмём, к примеру, дерево. Если рассматривать дерево поднимаясь от основания к вершине, то видно, как от ствола отходят большие ветви, на больших ветвях идёт такое же разветвление меньших веток, и дальше форма разветвления в любой части дерева будет повторяться, лишь уменьшаясь в размере к вершине. И зная принципы построения фракталов, изучив все закономерности расположения веток на вершине дерева, нетрудно догадаться, как выглядит это же дерево у своего основания.
Крона – это видимая часть дерева, которая является отражением корневой системы. А корни, в свою очередь, тоже имеют ярко выраженное фрактальное строение. (рис.14, б).
Рис. 14. Фракталы в природе на примере дерева
Самое интересное, что прожилки на листьях тоже образуют фрактальный рисунок, очень похожий на плоское миниатюрное дерево (рис.15). Нет листьев с одинаковым рисунком, так же как нет людей с одинаковым отпечатком пальца. Рисунок на каждом листе уникален.
Рис. 15. Фрактальность в листьях
Комнатное растение (королевская бегония) – яркий пример проявления фракталов в рисунке листьев. Маленькие листочки по форме и сочетанию цветов аналогичны большим, хотя и не являются их точной копией (рис.16).
Рис. 16. Листья королевской бегонии
Один из самых старых видов наземных растений – папоротники. Учёные полагают, что они существуют более 350 млн. лет. Строение листа этого растения очень похоже на компьютерный фрактал (рис.17). Именно это растение является ярким доказательством того, что чем древнее биологическая форма, тем чётче в ней прослеживается фрактал, то есть форма организма строится по простым правилам.
Рис. 17. Листья папоротников
Съедобные растения тоже несут в себе формы самоподобия. Красная капуста в продольном срезе имеет фрактальный рисунок. (рис.18)
Рис. 18. Фото разных сортов капусты
Казалось бы, тугой кочан капусты, а его красота может вдохновить даже художника. Белые утолщения центральных черенков плотно прижатых листьев образуют волшебный фрактальный лабиринт.
Лишайники так же как папоротники и мхи – это самые древние представители растительного мира, поэтому фракталы в них выражены особенно ярко. В их узлах содержатся те же фрактальные формы, что и по краям.
Фрактальность мироустройства, энергии.
Спираль как фрактал
Мир вокруг нас разнообразен. Многие объекты, существующие в природе, являются фракталами. В их основе лежит Божественная пропорция (число Фи) – это Золотое сечение и золотая спираль, благодаря которой мы воспринимаем красоту и гармонию природы, пропорциональность строения человека, древней архитектуры, классических произведений искусства.
Золотая спираль строится фрактальным способом: прямоугольник с золотой пропорцией. 1,618 (число Фи) разбивают на малые квадраты и проводят дугу. То есть в спиралях большая дуга переходит в подобную меньшую и т.д.
Рис. 20. Золотое сечение
Спираль сама по себе является фракталом, в котором каждый новый виток копирует предыдущие, но в новом масштабе. Прямая взаимосвязь между мироустройством микро- и макромира и формой спирали свидетельствует о фрактальном устройстве Вселенной.
Очень интересную информацию об этой взаимосвязи можно найти в книге «АллатРа» А. Новых:
«Ригден: Да, и это связано со структурированным ходом энергий, хранением информации и её обменом, в общем, с углублённой физикой. Если внимательно изучить этот вопрос, то можно понять, что многое в материальном мире располагается в форме спирали или совершает движение по спирали, начиная от микро- и заканчивая макрообъектами».
Здесь же мы читаем, что в мифологии древних народов основные моменты о сотворении мира схожи. Говорится, что из мира Бога появился Первичный Звук, который породил Вселенную в форме шара. А на его поверхности под действием сил Аллата (первичной энергии, порождающей жизненное движение) стала образовываться материя, которая благодаря тем же силам начала взаимодействовать между собой.
Весь мир создан по математическим пропорциям, и древние об этом знали и отразили своё знание в мифах о сотворении мира. Спираль и последовательность Фибоначчи – это тоже фракталы.
Понятие о двух противодействующих силах Вселенной запечатлены на артефактах разных культур и эпох символом спиралей, закрученных в разные стороны.
Рис. 20. Артефакты с символом спираль в культурах мира
Науке уже известно о спиральных структурах и спиралевидном движении энергии. В этом движении также обнаруживаются фрактальные свойства. Их можно увидеть в космосе, в теле человека, в растениях и природных явлениях (облака, циклоны, водовороты).
Физики наблюдали, как в турбулентных потоках большие вихри порождают вихри поменьше, а те ещё меньше, и такое деление спиралевидных энергий наблюдалось до тех видимых пределов, которые технически были доступны учёным.
Фрактальные свойства присутствуют в структуре и движении энергии электрического разряда, воды, в росте растений и т.д.
Чем полезны знания о фракталах
Понимание фрактального устройства упростило многие сферы научных исследований. Удивительная особенность фракталов – повторение аналогичного паттерна в разных масштабах – позволяет нам, изучив малую часть какого-либо события или явления, предполагать об устройстве целого.
Это свойство позволило более точно рассчитывать площади неровных изломанных поверхностей. Например географических, таких как береговые линии, облака, или биологических – внутренняя поверхность лёгких или нервных волокон.
Рис. 21. Изображение структуры лёгких
Фрактальное строение ландшафта позволило создавать 3D модели гор, облаков, берега, что широко используется в компьютерной графике кинематографа, программ обучения водителей, лётчиков, а также в компьютерных играх. По факту, это есть создание иллюзорной копии нашего мира (иллюзии внутри иллюзии).
В технической сфере мы научились производить фрактальные антенны, которые позволяют значительно уменьшить размеры конструкции, и расширить диапазон принимаемых частот без увеличения объёма и громоздкости.
Применение фрактального свойства в архитектуре привело к появлению новых необычных форм с увеличением прочности строений.
Знания о фракталах нашли применение во всех сферах жизни человека – в физике, экономике, культуре, биологии, геологии и т.д.
Но главное – это реальный шанс по-новому взглянуть на мироустройство, которое пронизано фракталами вдоль, поперёк и насквозь. Например, изучение галактики, позволило учёным приблизиться к пониманию о строении Вселенной и о параллельных мирах.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Как видим, фракталы – это не нечто обособленное и непонятное. Они наполняют нашу жизнь. Знания о фрактальном построении мира имелись у людей издревле. Мы провели небольшое исследование и нашли интересные факты, связанные с древностью фракталов, способами их применения в архитектуре и проявлений как в самом человеке, так и в обществе.
Во второй части нас ждёт захватывающее путешествие в историю, архитектуру, музыку. У нас будет возможность понять, как изменения в неизмеримо малом могут привести к глобальным трансформациям. И что может сделать человек как единица общества, чтобы наступило золотое тысячелетие, о котором люди мечтают с давних пор.
Конец первой части
Участники МОД «АЛЛАТРА»
Список литературы:
Анастасия Новых «АллатРа» К: изд-во «АЛЛАТРА» 2013
Анастасия Новых «Сэнсэй IV»
Анастасия Новых «Сэнсэй-II»
АЛЛАТРА ТВ передача «СОЗНАНИЕ И ЛИЧНОСТЬ. От заведомо мёртвого к вечно Живому»
Статья «К ТИПОЛОГИИ ФРАКТАЛОВ В ТЕОРИИ КУЛЬТУРЫ»
Смирнова А. С., Готический стиль в архитектуре и психология. (Научные труды Института Непрерывного Профессионального Образования. №4/2014.
Деменок С., Просто фрактал. – СПб.: ООО «Страта», 2012.
Cтатья из Вестника Брестского гос. техн. унив-та. 2015 №1: Колосовская А.Н. Архитектурные сооружения духовно-рыцарский орденов.
Г.М. Вдовин Г.М., Трубецков Д.И., Столетие фрактальной геометрии: От Жюлиа и Фату через Хаусдорфа и Безиковича к Мандельброту. Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского. Россия. 2020.
Федер Е., Фракталы. Перевод Ю.А.Данилова и А.Шукурова. М.: «Мир». 1991.