Ребра многогранника как найти

Вершины, рёбра, грани многогранника

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

«Вершины, ребра, грани многогранника»

Многогранник (многогранная поверхность) – это поверхность, составленная из многоугольников, ограничивающая некоторое геометрическое тело. Примером многогранника является куб, параллелепипед, призма и т.д.

Грани многогранника – это многоугольники, из которых составлен многогранник. Например, гранями параллелепипеда являются параллелограммы.

Стороны граней называются ребрами, а концы ребер – вершинами многогранника.

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки многогранника, называется секущей плоскостью, а общая часть многогранника и секущей плоскости – сечением многогранника.

Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые.

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками.

Теорема Эйлера: в любом выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин больше числа ребер на 2.

Леонардо Эйлер (1707 – 1783) – швейцарец по происхождению, выдающийся математик. Большую часть жизни работал в России.

Решить задачу: Начертите произвольный прямоугольный параллелепипед, укажите все его вершины, ребра и грани. Проверьте выполнимость формулы Эйлера.

Выпуклые многогранники: а, б, д

Невыпуклые многогранники: в, г

8 вершин, 12 ребер, 6 граней

Формула Эйлера: 6 + 8 – 12 = 2

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Источник

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок № 13. Многогранники

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Многогранник – геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников.

Грани многогранника – многоугольники, ограничивающие многогранники.

Ребра многогранника – стороны граней многогранника.

Вершины многогранника – концы ребер многогранника (вершины граней многогранника).

Диагональ многогранника – отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.

Выпуклый многогранник – многогранник, расположенный по одну сторону от плоскости его любой грани.

Невыпуклый многогранник – многогранник, у которого найдется по крайней мере одна грань такая, что плоскость, проведенная через эту грань, делит данный многогранник на две или более частей.

Атанасян Л. С., В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы: учеб. Для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровния. – М.: Просвещение, 2014. – 255 с. (стр. 58, стр. 60 – 61)

Долбилин Н. П. Жемчужины теории многогранников М. : – МЦНМО, 2000. – 40 с.: ил. (стр. 27 – 31)

Открытые электронные ресурсы:

Долбилин Н. П. Три теоремы о выпуклых многогранниках. Журнал Квант.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

К определению понятия многогранника существует два подхода. Проведем аналогию с понятием многоугольника. Напомним, что в планиметрии под многоугольником мы понимали замкнутую линию без самопересечений, составленную из отрезков (рис. 1а). Также многоугольник можно рассматривать как часть плоскости, ограниченную этой линией, включая ее саму (рис. 1б). При изучении тел в пространстве мы будем пользоваться вторым толкованием понятия многоугольник. Так, любой многоугольник в пространстве есть плоская поверхность.

Б)

Рисунок 1 – разные подходы к определению многоугольника

Вторая трактовка понятия определяет многогранник как геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников.

В дальнейшем, мы будем использовать вторую трактовку понятия многогранника.

Уже известные вам тетраэдр и параллелепипед являются многогранниками. Потому что они являются геометрическими телами, ограниченные конечным числом плоских многоугольников. Еще один пример многогранника — октаэдр (рис. 2)

Рисунок 2 – изображение октаэдра

Многоугольники, ограничивающие многогранник, называются его гранями. Так, у тетраэдра и октаэдра гранями являются треугольники. У тетраэдра 4 грани, отсюда и его название от греч. τετρά-εδρον — четырёхгранник. У октаэдра 8 граней, а от греческого οκτάεδρον от οκτώ «восемь» + έδρα «основание».

Стороны граней называются ребрами, а концы ребер — вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. В остальных случаях многогранник называется невыпуклым (рис.3).

Рисунок 3 – Виды многогранников

Сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранника

Рисунок 4 – сумма плоских углов пи вершине многогранника

Теорема Эйлера. Пусть В — число вершин выпуклого многогранника, Р — число его ребер, а Г — число его граней. Тогда верно равенство В – Р+Г= 2.

Теорема Эйлера играет огромную роль в математике. С ее помощью было доказано огромное количество теорем. Находясь в центре постоянного внимания со стороны математиков, теорема Эйлера получила далеко идущие обобщения. Более того, эта теорема открыла новую главу в математике, которая называется топологией.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Задание 1. Какие из перечисленных объектов НЕ могут быть элементами многогранника? Укажите номера в порядке возрастания.

Элементы многогранника, которые мы выделили: ребра, грани, вершины и диагонали. Ребро и диагональ многогранника – это отрезок. Грань многогранника – многоугольник, или иначе ограниченная часть плоскости. Вершины представляют собой точки. Таким образом, элементами многогранника не могут быть плоскость, луч, многогранник, прямая.

Задание 2. Сопоставьте геометрическим фигурам их вид

Б) пространственная фигура

Вспомним, что изобразить пространственную фигуру можно разными способами. Например, с помощью теней или изображением невидимых линий пунктиром. Так, среди всех изображений плоской фигурой является фигура под номером 1.

Многогранник – геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников. Только на изображении 2 фигура ограничена многоугольниками. Таким образом, получаем следующий ответ: 1-А, 2-В, 3-Б

Источник

Многогранники в начертательной геометрии с примерами

Содержание:

К многогранникам относятся призмы, пирамиды и более сложные объекты.

Призма – это многогранник, основания которого являются n-угольник, а боковые ребра взаимно параллельны.

Построение фигуры сечения многогранника плоскостью может выполняться двумя способами:

Многогранники

Одним из видов пространственных форм являются многогранники – замкнутые пространственные фигуры, ограниченные плоскими многоугольниками. Эти многоугольники образуют грани, общие стороны многоугольников называются ребрами, вершины многогранных углов, образованных его гранями, сходящихся в одной точке – вершинами многогранника.

Если вершины и ребра многогранника находятся по одну сторону от плоскости любой его грани, то многогранник называется выпуклым. Наибольший практический интерес представляет собой призмы, пирамиды и правильные многогранники (тела Платона).

Многогранник называют правильным, если его грани представляют собой правильные и равные многоугольники. Гранями правильных многоугольников могут быть только правильные треугольники, четырёхугольники (квадраты) и пятиугольники.

Существует пять видов правильных многоугольников:

У всякого выпуклого многогранника число граней (Г) плюс число вершин (В) минус число ребер (Р) равно двум, т.е Г + В – Р = 2.

Многогранником называется совокупность таких плоских многоугольников, у которых каждая сторона является одновременно стороной другого (но только одного).

Предметом нашего изучения будут только выпуклые многогранники, т.е. такие которые расположены по одну сторону каждой его грани.

Способы задания многогранников. Форма и положение многогранника в пространстве определяется заданием его ребер, основанием и вершиной, если это пирамида, основанием и одним из боковых ребер, если это призма. Построение проекции многогранника сводится к построению проекций точек.

Рассмотрим наиболее распространенные виды многогранников.

Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник и высота пирамиды проходит через центр многоугольника.

Пирамида называется усеченной, если вершина её отсекается плоскостью. При построении проекций пирамиды целесообразно располагать ее основание параллельно плоскости проекций.

Призма называется прямой, если её ребра перпендикулярны плоскости основания. Если основанием призмы является прямоугольник, призму называют параллелепипедом.

При построении проекций призмы целесообразно располагать ее основания параллельно плоскости проекций.

Тела Платона. Многогранник, все грани которого представляют собой правильные и равные многоугольники, называют правильными. Углы при вершинах такого многогранника равны между собой.

Существует пять типов правильных многогранников. Эти многогранники и их свойства были описаны более двух тысяч лет назад древнегреческим философом Платоном, чем и объясняется их общее название.

Точка и прямая на поверхности многогранника

Грани многогранника представляют собой плоскости. Поэтому построение точек и прямых на поверхности многогранника сводится к построению точек и прямых линий на плоскости.

Точки на гранях призмы и пирамиды строятся при помощи вспомогательных прямых, принадлежащих соответствующим плоскостям граней (рисунок 6.4) [5].

Чтобы определить по данной проекции 1» точки 1, лежащей на наклонной призмы, горизонтальную проекцию 1′, проводим через точку 1» фронтальную проекцию вспомогательной прямой , параллельную ребрам призмы. Определив горизонтальную проекцию вспомогательной прямой, по линии связи найдем горизонтальную проекцию 1′.

Фронтальная проекция 2» точки 2, лежащей на грани , построена с помощью вспомогательной прямой EF, проведенной через проекцию 2′.

Недостающую проекцию точки 3, расположенную на ребре , определим с помощью линии связи.

Нахождение недостающих проекций точек, находящихся на боковой поверхности прямой призмы (рис.6.5) упрощается, т.к. боковые грани призмы являются горизонтально-проецирующими плоскостями. Так горизонтальная проекция 1′ точки 1, расположенной на грани находится на отрезке А’В’. Профильную проекцию точки 1 определим с помощью линии связи. Горизонтальная проекция 2′ точки 2, расположенной на боковом ребре совпадает с горизонтальной проекцией этого ребра. Профильную проекцию точки 2 построим при помощи горизонтальной линии связи.

На рис. 6.6 показано построение недостающих проекций точек, находящейся на боковой поверхности пирамиды SABC. Фронтальная проекция 1″ точки 1, расположенная на грани SBC, представляющей собой профильно-проецирующую плоскость, построена с помощью линий связи.

Чтобы определить по заданной проекции 2″ точки 2, лежащей на грани SAB, проекцию 2′ (рис.6.4), используем горизонталь h.

Фронтальная проекция горизонтали h» проведена через проекцию 2″ до пересечения с проекцией B»S» ребра BS в точке D». Горизонтальная проекция h» горизонтали h проходит через точку D’ параллельно проекции A’B’ стороны AB.

Способ граней

Способ ребер

Этот способ заключается в определении точек встречи прямых (ребер) с заданной плоскостью (см. разд. 7). Установив последовательно для всех ребер точки встречи их с секущей плоскостью, соединяют эти точки отрезками прямых и получают многоугольник сечения.

Развертки многогранников

В инженерном деле многогранники чаще всего реализуются как оболочки заданных форм и размеров. Для их изготовления необходимо уметь выполнить развертку (выкройку) таких оболочек. Развёртка многогранника представляет собой плоскую фигуру, полученную последовательным совмещением всех граней многогранника с плоскостью чертежа таким образом, чтобы грани примыкали друг к другу по линиям сгиба (рёбрам).

Для построения развёртки многогранника необходимо знать натуральные величины всех его граней, поэтому задача построения развертки многогранника решается в два этапа:

Примеры решения задач

Задание: определить сечение трёхгранной призмы (рис. 10.1) плоскостью Построить полную развёртку поверхности призмы и нанести на ней линию сечения.

Решение: секущая плоскость Р является фронтально проецирующей и пересекает все рёбра прямой призмы Для решения задачи используют свойство проецирующей плоскости, следуя которому фронтальная проекция сечения 1, 2, 3 совпадает с фронтальным следом плоскости Р (рис. 10.2).

Рёбра призмы являются горизонтально проецирующими прямыми и на плоскость проецируются в точки поэтому горизонтальная проекция фигуры сечения совпадает с горизонтальной проекцией призмы, т.е. В рассматриваемом примере основание призмы проецируется на горизонтальную плоскость проекций в натуральную величину, рёбра призмы параллельны фронтальной плоскости проекций . Из этого следует, что фронтальные проекции рёбер являются натуральными величинами.

Для построения развёртки призмы совмещают ее боковые грани с фронтальной плоскостью проекций . На совмещенных положениях граней развертки призмы отмечают точки и последовательно соединяют их отрезками прямых линий. Верхнее и нижнее ABC основания и натуральную величину фигуры сечения пристраивают к развёртке, как треугольники по трём известным сторонам.

Что такое многогранник

Выпуклыми многогранниками называются многогранники, располагаемые по одну сторону каждой грани. Если это не соблюдается, то многогранники называются вогнутыми или выпукло-вогнутыми.

На эпюре многогранники задаются проекциями ребер, так называемой сеткой ребер. Поверхность многогранников считается геометрически непрозрачной, в связи с чем на эпюре следует определить видимость ребер методом конкурирующих точек (прямых). На рисунке 7.2 показан пример задания многогранников на эпюре и определения видимости ребер.

Пересечение многогранников плоскостями

Типовой задачей для многогранников является задача о пересечении многогранников плоскостями частного и общего положения (рисунок 7.3).

В обоих случаях задача может быть решена двумя методами, основанными на типичных позиционных задачах: методом ребер и методом граней.

В методе ребер несколько раз (по числу пересекаемых ребер) решается задача о пересечении прямой (ребра) с плоскостью (секущей плоскостью). В этом случае находятся точки 1,2,3— Найденные точки являются вершинами многоугольника сечения. В методе граней несколько раз решается типичная задача о пересечении двух плоскостей (граней многогранника и секущей плоскости) и находят линии 1-2, 2-3, 3-1, которые являются сторонами многоугольника сечения. Если секущая плоскость является плоскостью частного положения, то задача решается упрощенно.

Пример: Построить сечение пирамиды фронтально-проецирующей плоскостью (рисунок 7.4).

Пример: Построить сечение пирамиды плоскостью общего положения, определить его натуральную величину и построить развертку пирамиды с нанесением на неё линий сечения.

Решение: На рисунке 7.5 представлено решение задачи. Секущая плоскость рассекает пирамиду, начиная с основания пирамиды АВС. Горизонтальный след плоскости и горизонтальная проекция основания пересекаются в точках

Ребро пирамиды SA с секущей плоскостью не пересекается. Точки пересечения ребер SB и SC найдем как точки встречи прямых с плоскостью при помощи вспомогательных фронтально-проецирующих плоскостей (точки 4 и 3). Полученные точки соединяем прямыми линиями и получаем проекции сечения 1-2-3-4.

Натуральную величину сечения найдем методом совмещения (см. тему «Метод совмещения»). Для построения развертки пирамиды определим натуральную величину ребер SB и SC методом вращения вокруг горизонтально-проецирующей оси, проходящей через вершину пирамиды S (см. раздел «Метод вращения вокруг проецирующих осей»). Точки «перенесем» на натуральную величину ребер SB и SC.

Развертку пирамиды построим методом раскатки (см. раздел «Развертки многогранников»).

Пересечение прямой с многогранником

Решение задачи о пересечении прямой с поверхностью многогранника осуществляется по методике, аналогичной методике решения задачи о пересечении прямой с плоскостью (см. рисунок 7.3). Через прямую проводят вспомогательную плоскость частного положения, строят сечение многогранника вспомогательной плоскостью и находят общие точки прямой и построенного сечения. Полученные точки являются точками встречи прямой с поверхностью многогранника (точки входа и выхода). Таким образом, задача сводится к решению задачи о построении сечения многогранника плоскостью частного положения, которая рассмотрена выше (см. рисунок 7.4).

Взаимное пересечение многогранников

Задача о пересечении многогранников также решается методом ребер или методом граней в соответствие с рисунком 7.3. При пересечении многогранников возможны два случая: полное и неполное пересечение (рисунок 7.6).

Линия пересечения многогранников (или линии пересечения при полном пересечении) находится по следующему плану:

Пример: Построить линию пересечения пирамиды и призмы (рисунок 7.7).

Решение: Призма KLMN расположена в частном положении и её грани представляют из себя горизонтально-проецирующие плоскости. В связи с этим на горизонтальной проекции можно найти точки пересечения ребер пирамиды SB и SC с гранями призмы (точки Ребра призмы являются горизонтально-проецирующими прямыми. Ребра К и N пересекают грани пирамиды ABS и ACS. Точки пересечения ребер К и N с указанными гранями найдем как точки, принадлежащие граням ABS и ACS, с помощью вспомогательных прямых, соединяющих вершину пирамиды с точками на горизонтальной проекции. В результате найдем точки 3,4 и 5,6.

Далее соединим полученные точки в последовательности 1-2-3-5-7-8-6-4-1, которая определяется по горизонтальной проекции. Видимость проекций определим методом конкурирующих прямых.

Развертки многогранников

Любая техническая конструкция, имеющая форму многогранника (бункеры, короба, основания, полые перекрытия и т.д.), может быть изготовлена из листового материала, в связи с чем необходимо иметь развертку поверхности многогранника для раскроя и вырезки материала.

Разверткой поверхности называется геометрически закономерное преобразование поверхности в плоскость. Наиболее распространенными способами построения разверток поверхностей являются метод нормального сечения и метод раскатки. Прежде чем воспользоваться этими методами, необходимо определить натуральную величину ребер и оснований многогранника.

Метод нормального сечения (рисунок 7.8а) заключается в том, что поверхность многогранника (например, призмы) рассекают плоскостью, перпендикулярной ребрам, определяют натуральную величину сечения, совмещают стороны сечения в одну линию и к ней перпендикулярно пристраивают ребра по обе стороны линии.

Метод раскатки заключается в том, что к одной произвольной грани пристраивают поочередно соседние грани и основания, предварительно определив НВ ребер и оснований (рисунок 7.86). В примере 7.2 приведено построение развертки пирамиды методом раскатки (см. рисунок 7.5).

Пересечение пирамиды проецирующими плоскостями

Общие сведения. При пересечении многогранника плоскостью в сечении получается многоугольник, вершинами которого являются точки пересечения ребер многогранника плоскостью, а сторонами – отрезки прямых, по которым грани многогранника пересекаются этой плоскостью.

Определение вершин многоугольника сводится к построению точек пересечения прямых (ребер многогранника) с плоскостью – способ ребер.

При определении сторон многоугольника решаются задачи на пересечение двух плоскостей – способ граней.

На рисунке 6.7 показано построение проекций линии пересечения прямой треугольной пирамиды фронтально – проецирующими плоскостями Q(Q’) и P(P’) [2].

Пересечение следа – проекции Q» с фронтальными проекциями боковых ребер призмы дает проекции 1»,2»,3»,4» вершин многоугольника сечения. Горизонтальные проекции этих вершин совпадают с «вырожденными» проекциями соответствующих ребер, так как призма прямая. Профильные проекции 1»,2»,3»,4» вершин определим при помощи горизонтальных линий связи на соответствующих проекциях ребер призмы.

Рисунок 6.7 – Построение проекций линии пересечения прямой треугольной пирамиды фронтально – проецирующими плоскостями

Плоскость Q пересекает грань SAC по отрезку 1-2, грань SBC по отрезку 2-3, грань SAB по отрезку 1-4.

Плоскость P пересекает грань SBC по отрезку 3-5, а грань SАB по отрезку 1-4. При построении проекций точек, принадлежащих линии пересечения, следует учитывать, что профильные проекции совпадают, т.к. грань SAB пирамиды является профильно-проецирующей плоскостью.

Недостающие проекции точки 1, расположенной на ребре SC, определены при помощи линий связи сначала на профильной проекции ребра, а затем на горизонтальной.

Для построения горизонтальных проекций точек 3 и 4, через их фронтальную проекцию проведены вспомогательные прямые SD и SE, принадлежащие соответственно граням SBC и SAB.

Построив горизонтальные проекции и этих прямых по линии связи определим горизонтальные проекции точек 3 и 4, а затем и их профильные проекции.

Плоскости Q и P пересекаются по фронтально-проецирующей прямой 3-4. Соединив построенные проекции точек получим проекции линии пересечения.

Натуральная величина многоугольника сечения найдена способом вращения вокруг фронтально-проецирующей оси.

Проекция – натуральная величина многоугольника сечения (это четырехугольник 1, 2, 3, 4).

Пересечение призмы проецирующими плоскостями

Правильная треугольная призма усечена двумя плоскостями: фронтально-проецирующей и профильной (рисунок 6.8) [2].

Построить профильную проекцию усеченной призмы.

Плоскость Q пересекает верхнее основание призмы по прямой 4-5, а боковую поверхность по горизонтально-проецирующим прямым 1-5 и 3-4.

Прямая 1-5 совпадает с ребром А призмы.

Плоскость Q пересекает ребро А призмы в точке 1, а ребро С–в точке 2.

Плоскости Q и P пересекаются по линии 1-3.

Профильные проекции указанных выше точек определяются при помощи линий связи. Соединив построенные точки получим профильную проекцию линии пересечения.

Рисунок 6.8 – Построение проекций линии пересечения прямой треугольной призмы фронтально – проецирующими плоскостями

Плоскости Q и P пересекаются по фронтально-проецирующей прямой 3-4. Соединив построенные проекции точек получим проекции линии пересечения.

Натуральная величина многоугольника сечения найдена способом вращения вокруг фронтально-проецирующей оси.

Проекция – натуральная величина многоугольника сечения (это четырехугольник 1, 2, 3, 4).

Многогранники и тела с кривыми поверхностями

В инженерной практике наиболее часто приходится иметь дело с геометрическими телами, которые условно можно подразделить на многогранники и тела с кривыми поверхностями.

Кривую поверхность можно представить как траекторию движения некоторой линии (образующей) в пространстве. Образующая может быть прямой или кривой линией. Если поверхность образуется движением прямой, то она называется линейчатой, если кривой, то нелинейчатой. Примерами простейших линейчатых поверхностей являются конус и цилиндр.

Рассмотрим построение сечения многогранников и линейчатых поверхностей плоскостью, а также точек пересечения прямой линии с этими геометрическими телами.

Пересечение многогранника плоскостью

В общем случае сечение многогранника плоскостью представляет собой плоскую замкнутую ломаную линию. Построение сечения возможно двумя способами:

Последний способ несколько проще, поэтому рассмотрим ход построения сечения многогранника именно этим способом на примере наклонной пирамиды (рис.100).

Находим точку пересечения ребра с плоскостью . Для этого проводим через вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость и строим линию пересечения плоскостей и — прямую . В пересечении горизонтальной проекции линии пересечения с проекцией ребра получаем точку — горизонтальную проекцию точки пересечения ребра с плоскостью . По линии проекционной связи, проведенной из , находим фронтальную проекцию точки пересечения на фронтальной проекции ребра .

Аналогично находим проекции точки и точки соответственно на ребрах и , проведя через них вспомогательные плоскости и .

Соединив на горизонтальной плоскости проекций и на фронтальной плоскости проекций, получаем проекции сечения пирамиды плоскостью . На видимых гранях пирамиды линии контура сечения видимы и наоборот.

Пересечение конуса и цилиндра плоскостью

Для построения сечения конуса или цилиндра плоскостью в нее необходимо вписать многогранник (соответственно пирамиду или призму), построить сечение вписанного многогранника плоскостью, а затем полученные на ребрах многогранника точки соединить плавной кривой линией по лекалу. В результате получаем приближенное решение задачи, точность которого будет определяться числом граней вписанного многогранника (для обеспечения достаточной точности вписанного многогранника должно быть не менее шести граней).

На плоскости проекций часть контура сечения, ограниченная точками и образующей цилиндра, будет невидима, а на плоскости невидимой будет кривая .

Пересечение прямой линии с поверхностью многогранника

Для построения точек пересечения прямой линии с поверхностью многогранника необходимо:

Рассмотрим построение точек встречи на примере пересечения прямой с поверхностью треугольной наклонной пирамиды (рис.102).

Поскольку через прямую линию можно провести любую плоскость, нам удобнее воспользоваться плоскостью частного положения. Проводим через прямую фронтально-проецирующую плоскость и строим сечение пирамиды этой плоскостью. В этом случае фронтальная проекция сечения пирамиды плоскостью совпадает с фронтальным следом плоскости .

Далее строим горизонтальную проекцию сечения и находим проекции точек пересечения прямой с контурами сечения и . По горизонтальным проекциям этих точек строим их фронтальные проекции. Точки и и являются искомыми точками пересечения прямой с поверхностью пирамиды.

На рис.102 показана также видимость прямой относительно поверхности пирамиды. На плоскости будет невидимым отрезок, ограниченный точкой и ребром , а на плоскости — отрезок, ограниченный точкой и ребром .

Пример:

Построить точки пересечения прямой с поверхностью наклонной треугольной призмы (рис.103).

Точки встречи прямой с поверхностью призмы строим аналогично построению точек встречи прямой с поверхностью пирамиды.

Точки пересечения и прямой с контурами сечения являются точками пересечения прямой с поверхностью призмы.

Определяем видимость прямой относительно поверхности призмы. В направлении на плоскость невидимым будет отрезок, ограниченный и проекцией ребра , в направлении на — отрезок между и .

Пересечение прямой линии с поверхностью конуса и цилиндра

Точки пересечения прямой линии с поверхностью конуса или цилиндра можно построить двумя способами.

Первый способ заключается в том, что в конус или цилиндр вписывают соответственно пирамиду или призму, строят сечение вписанного многогранника вспомогательной плоскостью и полученные точки на ребрах соединяют плавной кривой. Точки пересечения прямой с построенным сечением есть точки пересечения этой прямой с поверхностью заданного геометрического тела. В результате получаем приближенное решение задачи.

Используем последний способ для построения точек пересечения наклонного кругового конуса прямой (рис.104). Задаем вспомогательную прямую, проходящую через вершину конуса и любую точку прямой , например точку.

Теперь вспомогательная плоскость (общего положения) оказывается заданной двумя пересекающимися прямыми и . Строим проекции горизонтальных следов прямых и . Через эти точки проводим горизонтальный след этой вспомогательной плоскости — . Этот след пересечет в точках и основание конуса, которое также лежит в плоскости проекций . Сечение конуса плоскостью пройдет через вершину и будет представлять собой треугольник . Искомые точки пересечения прямой с поверхностью конуса найдем в пересечении прямой с контурами построенного сечения.

Теперь, как и в предыдущем примере, строим горизонтальный след секущей плоскости . Он пройдет через горизонтальные проекции горизонтальных следов прямой и вспомогательной прямой .

В точках и след секущей плоскости пересечет нижнее основание цилиндра и, поскольку вспомогательная плоскость выбрана параллельной оси цилиндра, сечение будет представлять собой параллелограмм . Точки пересечения прямой с поверхностью цилиндра определяют как точки пересечения прямой с контурами построенного сечения.

Построение разверток поверхностей

Все поверхности делят на развертываемые и неразвертываемые.

Развертываемой называют поверхность, которая при совмещении с плоскостью чертежа не претерпевает каких-либо повреждений (разрывов, складок и т.д.). На развертке таких поверхностей сохраняется длина линий, лежащих на поверхности, размер углов между линиями и площади фигур, образованных замкнутыми линиями. Все размеры на развертке имеют натуральную величину. К развертываемым поверхностям относят все многогранные поверхности (пирамиды, призмы и т.д.) и некоторые линейчатые поверхности (конус, цилиндр).

Неразвертываемой называют поверхность, которая при совмещении с плоскостью претерпевает какие-либо искажения. У неразвертываемых поверхностей разверток быть не может, однако на практике в отдельных случаях возникает необходимость в построении приближенной «развертки» таких поверхностей. К неразвертываемым поверхностям относят все нелинейчатые поверхности (сфера, эллипсоид и др.).

Развертка поверхности пирамиды

Развертка полной поверхности -угольной пирамиды состоит из треугольников, составляющих грани пирамиды, и -угольника, лежащего в ее основании. Такую развертку строят методом треугольников, который сводится к определению натурального вида треугольников, являющихся гранями пирамиды.

На рис.106 показано построение развертки наклонной треугольной пирамиды . Основание пирамиды лежит в горизонтальной плоскости проекций и, следовательно, проецируется на нее в натуральную величину.

Ребра пирамиды , и спроецированы как на горизонтальную, так и на фронтальную плоскости проекций с искажением. Натуральные величины ребер определим способом вращения вокруг оси , перпендикулярной плоскости и проходящей через вершину пирамиды. Рассмотрим определение натуральных величин боковых ребер на примере ребра .

Ребро вращается вокруг оси до положения, параллельного плоскости . При этом горизонтальная проекция этого ребра вращается вокруг точки до положения, параллельного оси . Из нового положения точки (точки ) проводим линию проекционной связи до пересечения с фронтальным следом плоскости вращения, проведенным из точки перпендикулярно (в данном случае след совпал с осью ). Образуемая в пересечении точка является фронтальной проекцией нового положения точки , а отрезок — натуральной величиной ребра . Аналогично построены отрезки и , являющиеся истинными величинами ребер и .

Рассмотрим построение на развертке некоторой точки , принадлежащей грани пирамиды. Через эту точку и вершину пирамиды проведен вспомогательный отрезок с проекциями и , и методом вращения определена истинная величина отрезка . Для построения этого отрезка на развертке на стороне из точки отложено расстояние, равное . Построенная точка соединена с точкой , и на отрезке отложено расстояние, равное . Точка развертки соответствует точке , лежащей на поверхности пирамиды.

Развертка поверхности призмы

Развертка поверхности прямой призмы строится весьма просто: развертка ее боковой поверхности представляет собой ряд прямоугольников с общими сторонами. В этом случае построение развертки сводится к определению натуральных величин основания призмы и одного ребра.

Развертка полной поверхности -угольной наклонной призмы состоит из параллелограммов, являющихся гранями призмы, и двух -угольников, лежащих в основаниях.

Метод нормального сечения (сечения, перпендикулярного ребрам призмы) состоит из следующих построений:

На рис.107 и 108 показано построение развертки треугольной наклонной призмы методом нормального сечения.

Поскольку горизонтальные проекции ребер призмы параллельны оси (ребра являются отрезками фронтальных прямых), па фронтальную плоскость проекций они проецируются без искажения. Основания и лежат во фронтально-проецирующих плоскостях, и, следовательно, на плоскость они спроецировались с искажением, а на плоскость — в отрезок прямой.

Для нанесения на развертку некоторой точки , принадлежащей грани призмы, через нее параллельно боковым ребрам проведена прямая , лежащая на той же грани. На отрезке развертки из точки отложено расстояние, равное , и параллельно ребрам вычерчен отрезок . На этом отрезке из точки отложена натуральная величина отрезка , равная отрезку . Точка развертки однозначно соответствует точке , принадлежащей поверхности призмы.

Решение задачи начнем с определения натуральных величин ребер призмы. Для этого введем дополнительную плоскость проекций , перпендикулярную плоскости и параллельную ребрам. Тогда в системе плоскостей проекций ребра будут отрезками фронтальных прямых и на плоскость проекций спроецируются в натуральную величину и .

Аналогично построены точки и , и . Соответствующие точки на развертке соединены отрезками, и к полученной развертке боковой поверхности достроены основания. Построенная фигура является разверткой полной поверхности заданной призмы.

На рис.109 найдено также положение на развертке точки , принадлежащей грани призмы. Для этого через точку проведена вспомогательная прямая , параллельная ребрам.

Развертка поверхности конуса

Разверткой боковой поверхности прямого кругового конуса является сектор, радиус которого равен длине образующей конуса , а угол сектора

где — радиус основания конуса.

Пример 25. Построить развертку прямого кругового конуса и нанести на нее линию пересечения фронтально-проецирующей плоскостью (рис.110).

1. Основание конуса разобьем на частей (например, на 12) точками

2. На поверхность конуса нанесем ряд образующих и строим сечение конуса плоскостью .

4. Разбиваем дугу сектора также на 12 частей и строим положения образующих на развертке:

5. Методом вращения вокруг оси конуса определяем натуральные величины отрезков всех образующих между вершиной и секущей плоскостью . Две образующие и на плоскость проецируются в натуральную величину. Для определения натуральной величины других образующих, например , поворачиваем ее до положения образующей . Фронтальная проекция переместиться в положение , и отрезок будет натуральной величиной отрезка . Аналогичным построением определим натуральные величины отрезков и т.д.

6. Откладываем истинные величины расстояний от точки до точек на соответствующих линиях развертки и соединяем точки плавной кривой линией.

В общем случае для построения развертки поверхности наклонного конуса в него вписывают пирамиду, ребра которой равны отрезкам образующих конуса, и строят развертку поверхности этого многогранника. Построенные на развертке вершины основания пирамиды соединяют по лекалу плавной кривой линией, а крайние точки связывают с вершиной конуса отрезками прямой линии. Построенная развертка тем точнее, чем больше граней у пирамиды, вписанной в конус.

Для получения полной развертки поверхности конуса развертку боковой поверхности дополняют фигурой, лежащей в основании конуса. Если основание конуса не параллельно плоскости проекций и не лежит в ней, то для построения его на развертке первоначально необходимо найти натуральную величину этой фигуры.

На рис.111 дан пример построения развертки наклонного кругового конуса. В конус вписана шестиугольная пирамида, основанием которой является правильный шестиугольник . Способом вращения вокруг оси , перпендикулярной плоскости и проходящей через вершину , определены натуральные величины ребер этого многогранника. Основания заданного конуса и вписанной в него пирамиды лежат в горизонтальной плоскости проекций и, следовательно, проецируются на эту плоскость без искажения.

Для построения на развертке точки, заданной на поверхности конуса, например точки , проводим через нее образующую с проекциями и . На кривой из точки проводим дугу радиуса и наносим на эту кривую точку . На отрезке из точки откладываем отрезок , представляющий собой натуральную величину отрезка . Точка однозначно соответствует точке , лежащей на поверхности конуса.

Развертка поверхности цилиндра

Если цилиндр наклонный, то фигура, образуемая при развертывании его поверхности, ограничена двумя кривыми линиями (синусоидами), концы которых соединены отрезками.

В общем случае развертку поверхности цилиндра строим путем замены поверхности цилиндра поверхностью вписанной в него призмы, ребра которой равны отрезкам образующих цилиндра. Обычно при построении развертки поверхности цилиндра в него вписывают правильную призму, так как при этом упрощаются построения, связанные с разметкой развернутых контуров основания. Развертка поверхности тем точнее, чем больше граней у вписанной в цилиндр призмы.

Построенная развертка поверхности дополняется основаниями цилиндра. При этом если основания проецируются на плоскости проекций с искажением, то перед их нанесением на развертку предварительно необходимо найти натуральную величину этих фигур.

Развертка поверхности призмы, вписанной в цилиндр, строится или методом нормального сечения, или методом раскатки. В обоих случаях для развертывания поверхности необходимо, чтобы ребра вписанной в цилиндр призмы были параллельны одной из плоскостей проекций.

Рассмотрим построение развертки наклонного кругового цилиндра, изображенного на рис.112. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Основания как заданного цилиндра, так и вписанной в нее призмы проецируются на плоскость в натуральную величину, поэтому воспользуемся методом раскатки.

Поскольку ребра призмы являются отрезками прямых общего положения, ее проекция преобразована путем введения дополнительной плоскости проекций , перпендикулярной и параллельной ребрам призмы (образующим цилиндра). Для построения новой проекции призмы па плоскости из вершин призмы проведены линии проекционной связи, перпендикулярные оси , и на них отложены отрезки, равные координате вершин (проекция нижнего основания призмы совместилась с осью , так как координаты ее вершин равны нулю).

Построения повторяются до тех пор, пока все грани призмы не станут параллельны плоскости . Полученные ряды точек и соединяют по лекалу плавной кривой линией, а точки и — отрезком. Для получения развертки полной поверхности цилиндра к его поверхности пристроены основания (радиусы этих окружностей равны радиусам горизонтальных проекций оснований).

Если на развертку необходимо нанести точку, принадлежащую поверхности цилиндра (например, точку ), через нее проводим отрезок образующей (отрезок ), находим проекции этого отрезка (отрезок ) и заданной точки (точку ) на дополнительной плоскости проекций , и наносим их на развертку.

Взаимное пересечение геометрических тел

При взаимном пересечении геометрических тел образуется геометрическое место точек, принадлежащих одновременно обеим поверхностям. Оно представляет собой линию пересечения данных поверхностей.

Способ построения линии пересечения зависит, прежде всего, от вида пересекающихся поверхностей. Возможны следующие типы взаимного пересечения:

Взаимное пересечение поверхностей многогранников

В зависимости от способа определения элементов линии пересечения (ее сторон или вершин) построение производится путем:

Выбор способа зависит от расположения многогранников, возможно комбинированное использование обоих способов. На практике используют главным образом способ ребер.

Существуют следующие правила, которыми следует руководствоваться при построении линии пересечения:

На рис.113, показано построение линии пересечения прямой четырехугольной призмы и треугольной пирамиды способом ребер.

Проанализируем положение проекций ребер призмы относительно граней пирамиды. Фронтальные проекции обоих оснований призмы не пересекают проекцию пирамиды, следовательно, они не пересекают поверхность пирамиды. Горизонтальные проекции ребер призмы , спроецировавшиеся в точку, не пересекают проекцию пирамиды, поэтому они также не пересекают поверхность пирамиды. Только ребро призмы может пересекать поверхность пирамиды.

Рассуждая аналогично, можно прийти к выводу, что ребра пирамиды также могут пересекать поверхность призмы. Поскольку грани призмы лежат в горизонтально-проецирующих плоскостях, положение горизонтальных проекций точек пересечения (точек ) ребер с гранями призмы очевидно. Фронтальные проекции этих точек лежат на пересечении линии проекционной связи, проведенных из найденных точек, с соответствующими проекциями ребер пирамиды.

Пересечение поверхности вращения и поверхности многогранника

Линия пересечения таких поверхностей представляет собой одну или несколько плоских кривых линий, являющихся пересечением отдельных граней многогранника с заданным телом вращения. Точки излома кривой линии (если они имеются) соответствуют точкам пересечения ребер многогранника с поверхностью вращения.

В общем случае для построения линии пересечения необходимо найти ряд точек, принадлежащих обеим поверхностям, и соединить их замкнутой кривой линией. Эти точки могут быть найдены путем проведения:

Как правило, общие точки определяют комбинацией перечисленных выше способов с учетом упрощения или уточнения построений. Построение линии пересечения начинается с определения характерных точек, т.е. точек, занимающих особое положение по отношению к плоскостям проекций или к самой линии пересечения.

К характерным относятся точки:

Рассмотрим пример построения линии пересечения правильной четырехугольной пирамиды и соосного с ней цилиндра (рис.114). Характерные точки 1, 2, 3 и 4, являющиеся точками встречи ребер пирамиды с поверхностью цилиндра, определены по пересечению горизонтальных проекций ребер с проекцией поверхности цилиндра (на горизонтальную плоскость проекций она спроецировалась в окружность).

Построенные точки последовательно соединяют замкнутой кривой линией. Линия пересечения представляет собой четыре дуги (), соединенных между собой в точках пересечения ребер пирамиды с поверхностью цилиндра. В направлении на плоскости проекций и верхняя часть пирамиды, ограниченная линией пересечения, считается невидимой, поскольку она находится внутри цилиндра и закрыта для непосредственного обзора его поверхностью. Нижняя часть цилиндра также будет невидимой.

Взаимное пересечение поверхностей вращения

В общем случае для построения линии пересечения необходимо найти ряд точек, принадлежащих обеим поверхностям, и затем последовательно соединить их кривой линией.

Для определения общих точек применяют два способа:

В первом случае определяют точки, в которых образующая одной поверхности вращения пересекает другую поверхность. Повторяя этот прием для нескольких образующих, определяют ряд точек, необходимых для построения линии пересечения.

Во втором случае заданные тела пересекают третьей поверхностью, которая дает в пересечении с ними простейшие для построения линии (прямые или окружности). Точки взаимного пересечения этих линий лежат как на секущей поверхности, так и на поверхности заданных тел вращения. Проведя ряд секущих поверхностей, можно найти необходимое количество общих точек, через которые затем проводят искомую линию пересечения.

Способ вспомогательных образующих рационально использовать при построении линии пересечения поверхностей вращения, если хотя бы одна из заданных поверхностей является линейчатой и точки пересечения прямолинейных образующих с контурами второй поверхности очевидны.

Способ вспомогательных секущих поверхностей является более универсальным. На практике применяют следующие секущие поверхности:

С этим способом следует познакомиться самостоятельно (см. [2])

Иногда целесообразно комбинировать различные способы построения. Линия пересечения получается тем точнее, чем больше точек найдено для ее построения.

Существуют правила, которыми следует руководствоваться при построении линии пересечения:

Рассмотрим построение линии пересечения прямых круговых конуса и цилиндра с параллельными осями способом вспомогательных секущих плоскостей (рис.116). Здесь действуют те же принципы, что и в рассмотренном выше примере взаимного пересечения поверхности вращения и многогранника.

Сначала определяют характерные точки линии пересечения. В пересечении видимой образующей конуса с поверхностью цилиндра лежит точка 1, наивысшая точка по отношению к плоскости . В пересечении основания конуса с нижним основанием цилиндра (основания лежат в плоскости ) образуются общие точки 2 и 3, также лежащие в горизонтальной плоскости проекций.

Таким образом, на фронтальной и профильной плоскостях проекций все точки линии пересечения должны находиться между точками 1 и 2 (3). Заданные геометрические тела рассекают вспомогательными горизонтальными плоскостями . В сечении конуса и цилиндра образуются окружности. Рассмотрим построение общих точек на примере точек 4 и 5. Сечением цилиндра плоскостью является окружность радиуса , горизонтальная проекция которой совпадает с контуром цилиндра. Сечением конуса этой же плоскостью является окружность радиуса . В пересечении этих окружностей находятся горизонтальные проекции и , а их фронтальные проекции определяют по линиям проекционной связи, проведенным до пересечения . По двум известным проекциям строят профильные проекции и .

Способы задании многогранников и построение их проекций

Форма и положение многогранника в пространстве могут быть определены заданием его ребер, основанием и вершиной, если это пирамида, основанием и высотой, если это призма.

Выбирая положение пирамиды или призмы для их изображения, целесообразно располагать их основания параллельно плоскости проекций. Примеры приведены на рис. 8.1, 8.2, 8.3. Здесь в системе плоскостей проекций изображены трехгранная пирамида, прямая и наклонная призмы.

Пересечение плоскости и прямой с многогранниками

При пересечении многогранника плоскостью в общем случае получается плоский многоугольник (рис. 8.4). Этот многоугольник можно построить или по точкам пересечения с плоскостью ребер многогранника, или по линиям пересечения граней многогранника с плоскостью. Следовательно, задача сводится к определению точек пересечения прямой с плоскостью или к определению линий пересечения плоскостей Первый способ на практике применяется чаще второго.

Плоскую фигуру, полученную от пересечения многогранника плоскостью, называют сечением

Рассмотрим несколько примеров.

На рис. 8.5 построены проекции фигуры сечения наклонной трехгранной призмы фронтально проецирующей плоскостью

На рис. 8.6 построены проекции фигуры сечения четырехгранной пирамиды фронтально проецирующей плоскостью. Здесь, как и в предыдущем примере, фронтальная проекция сечения изображается отрезком прямой, совпадающим с фронтальным следом плоскости Горизонтальная проекция сечения находится по линиям связи

Если многогранник пересекает плоскость общего положения, то для определения линии пересечения необходимо воспользоваться некоторыми дополнительными вспомогательными построениями. Эти построения можно выполнятъ двумя способами:

Так, на рис. 8.7. линия пересечения призмы с плоскостью общего положения построена с использованием метода ребер.

Горизонтальный след проходит по нижнему основанию, следовательно, он пересекает нижнее основание по прямой

Ребро находится перед плоскостью и не пересекается с ней Через ребра призмы проводим фронтальные плоскости и строим линии пересечения вспомогательных плоскостей с плоскостью Фронтальные проекции ребер будут пересекаться с проекциями линий пересечения плоскостей в точках встречи их с плоскостью

Использование метода граней показано на рис. 8.8, когда необходимо построить сечение призмы плоскостью общего положения Заключаем грани в горизонтально-проецирующие плоскости и строим линии пересечения данных плоскостей с плоскостью В пределах граней эти линии являются сторонами многоугольника, получаемыми при пересечении плоскостью призмы

На рис. 8.9. построены проекции сечений плоскостью наклонной призмы. Для нахождения проекций сечения заключаем поочередно ребра призмы во фронтально-проецирующие плоскости и находим точки встречи ребер с плоскостью Полученные точки 1, 2, 3 соединяем ломаной линией и определяем видимость.

На рис. 8.10 построены проекции сечения плоскостью пирамиды.

Задача решена нахождением точек встречи (точек 3, 6, 9) каждого ребра пирамиды с секущей плоскостью. Чтобы найти точку (3) встречи ребра с секущей плоскостью через ребро необходимо провести вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость построить линию пересечения 1,2 с секущей плоскостью и в пересечении горизонтальной проекции линии пересечения с горизонтальной проекцией ребра отметить горизонтальную проекцию искомой точки 3. Фронтальная проекция точки 3 построена при помощи линии связи. Точка 9 построена аналогично. Для нахождения точки встречи ребра с плоскостью ребро заключаем во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость Соединив точки 3, 6,9, находим искомое сечение.

Прямая линия может пересекать поверхность многогранника в двух точках при условии, что многогранник выпуклый. Решение этой задачи основано на схеме определения точки пересечения прямой с плоскостью и распадается на три этапа:

На рис. S.11 построены точки пересечения прямой с поверхностью пирамиды

На рис. 8.12 построены точки пресечения прямой с поверхностью наклонной призмы

Взаимное пересечение многогранников

На рис. 8.13 приведен пример построения линии взаимного пересечения прямой четырехугольной призмы с пирамидой

Из четырех вертикальных ребер призмы только одно пересекает пирамиду. Находим точки его пересечения с гранями пирамиды. Через это ребро и вершину пирамиды проводим вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость Она пересекает пирамиду по прямым Эти прямые пересекают ребро призмы в точках — в точках пресечения ребра призмы с гранями пирамиды. Соединяя каждые пары таких точек одних и тех же граней отрезками прямых, получаем две линии пересечения многогранников. Одна из них представляет собой пространственный многоугольник другая-треугольник

Видимыми являются только те из отрезков многоугольников пересечения, которые принадлежат видимым граням многогранников; невидимые отрезки обозначаем на эпюре штриховыми линиями

Отрезки линии пересечения видимы на фронтальной проекции. Они принадлежат видимым граням призмы и пирамиды Отрезок является невидимым на фронтальной проекции. Этот отрезок принадлежит видимой на этой проекции грани призмы и невидимой грани пирамиды На фронтальной проекции видимы отрезки второй линии пересечения, а отрезки этой линии невидимы.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник