Степенная функция как решать
Степенная функция
Расскажем подробно об этих функциях и их графиках.
1. Линейная функция y = kx + b. График — прямая линия. Для её построения достаточно двух точек.
Если k > 0, линейная функция возрастает. Чем больше k, тем круче идет график. Число k называется угловым коэффициентом прямой и равно тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси X:
Если k 2 + bx + c мы уже рассказывали.
Кратко повторим основные моменты:
— Если a > 0, ветви параболы направлены вверх. Если a 2 + bx + c = 0. Если корней нет (дискриминант уравнения меньше нуля), парабола не пересекает ось X.
— Точку пересечения параболы с осью Y находим, подставив в её уравнение x = 0.
4. Заметим, что между функциями y = x 2 и y = x 4 есть определенное сходство. Оба этих графика симметричны относительно оси Y. Такие функции называются чётными.
Определение. Функция y = f(x) называется чётной, если:
1) область определения функции симметрична относительно нуля;
2) для каждого x из области определения выполняется равенство f(−x) = f(x).
Графики функций y = x 3 и y = x 5 симметричны относительно начала координат. Эти функции — нечётные.
Очевидно, функция y = x α является чётной при чётных значениях α и нечётной при нечётных α.
Выражение определено при x ≥ 0, поэтому область определения функции — все неотрицательные числа.
Кроме того, принимает только неотрицательные значения, поскольку ≥ 0.
Мы используем эти свойства при решении уравнений и неравенств. Уравнение вида имеет смысл только при f(x) ≥ 0 и g(x) ≥ 0. Это его область допустимых значений.
Правильный ответ: 
Запомните это. Проверить легко: возьмём, например, a = −2.
Сейчас нас интересует правая ветвь параболы, при x ≥ 0. Мы видим, что эта часть параболы и график функции словно нарисованы по одному шаблону, по-разному расположенному в координатной плоскости. Они симметричны относительно прямой y = x. То, что для одной из них — область определения, для другой — область значений.
Напомним, что такие функции называются взаимно-обратными. Подробно об этом можно прочитать в статье «Логарифмическая функция»).
7. Легко убедиться, что функция является обратной к функции y = x 3
39. Степенная функция
Функция 
где Х – переменная величина, A – заданное число, называется Степенной функцией.
Если 
то 
– линейная функция, ее график – прямая линия (см. параграф 4.3, рис. 4.7).
Если 
то 
– квадратичная функция, ее график – парабола (см. параграф 4.3, рис. 4.8).
Если 
то 
ее график – кубическая парабола (см. параграф 4.3, рис. 4.9).
Степенная функция 
Это обратная функция для 
1. Область определения: 
2. Множество значений:
3. Четность и нечетность: функция нечетная.
4. Периодичность функции: непериодическая.
5. Нули функции: X = 0 – единственный нуль.
6. Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
7. Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.
8. График функции Симметричен графику кубической параболы относительно прямой Y = X и изображен на рис. 5.1.
 |
Степенная функция 
1. Область определения: 
2. Множество значений: 
3. Четность и нечетность: функция четная.
4. Периодичность функции: непериодическая.
5. Нули функции: единственный нуль X = 0.
6. Наибольшее и наименьшее значения функции: принимает наименьшее значение для X = 0, оно равно 0.
7. Промежутки возрастания и убывания: функция является убывающей на промежутке 
и возрастающей на промежутке 
8. График функции (для каждого N Î N) «похож» на график квадратичной параболы (графики функций 
изображены на рис. 5.2).
Степенная функция 
1. Область определения:
2. Множество значений: 
3. Четность и нечетность: функция нечетная.
4. Периодичность функции: непериодическая.
5. Нули функции: X = 0 – единственный нуль.
6. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом
7. Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.
8. График функции (для каждого 
) «похож» на график кубической параболы (графики функций 
изображены на рис. 5.3).
 |
Степенная функция 
1. Область определения: 
2. Множество значений: 
3. Четность и нечетность: функция нечетная.
4. Периодичность функции: непериодическая.
5. Нули функции: нулей не имеет.
6. Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом
7. Промежутки возрастания и убывания: функция является убывающей в области определения.
8. Асимптоты: 
(ось Оу) – вертикальная асимптота;
(ось Ох) – горизонтальная асимптота.
9. График функции (для любого N) «похож» на график гиперболы (графики функций 
изображены на рис. 5.4).
 |
Степенная функция 
1. Область определения: 
2. Множество значений: 
3. Четность и нечетность: функция четная.
4. Периодичность функции: непериодическая.
5. Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом 
6. Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на 
и убывающей на 
7. Асимптоты: X = 0 (ось Оу) – вертикальная асимптота;
Y = 0 (ось Ох) – горизонтальная асимптота.
8. Графиками функций Являются квадратичные гиперболы (рис. 5.5).
 |
Степенная функция 
1. Область определения: 
2. Множество значений: 
3. Четность и нечетность: функция не обладает свойством четности и нечетности.
4. Периодичность функции: непериодическая.
5. Нули функции: X = 0 – единственный нуль.
6. Наибольшее и наименьшее значения функции: наименьшее значение, равное 0, функция принимает в точке X = 0; наибольшего значения не имеет.
7. Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.
8. Каждая такая функция при определенном показателе является обратной для функции 
при условии 
9. График функции «похож» на график функции 
при любом N и изображен на рис. 5.6.
Степенная функция 
1. Область определения:
2. Множество значений:
3. Четность и нечетность: функция нечетная.
4. Периодичность функции: непериодическая.
5. Нули функции: X = 0 – единственный нуль.
6. Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом
7. Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.
8. График функции Изображен на рис. 5.7.
 |
Пример 1. Построить график функции:
1) 
2) 
Решение. 1) Для построения графика данной функции используем правила преобразования графиков:
А) строим график функции 
(он показан на рис. 5.7);
Б) график функции 
получаем из графика функции путем параллельного переноса его на одну единицу вправо по оси Ох и на две единицы вниз по оси Оу;
В) график исходной функции получаем из графика функции 
оставляем ту часть графика, которая находится справа от оси Оу и на оси Оу, другую – отбрасываем (на рис. 5.8 она показана пунктиром). Оставшуюся часть графика дополняем симметричной ей относительно оси Оу (рис. 5.8).
2) Преобразуем функцию к виду 
Заметим, что 
График этой функции получаем путем следующих преобразований:
А) строим график функции 
Б) график 
получаем из предыдущего симметричным отображением относительно оси Оу;
В) график функции 
получаем из предыдущего смещением на 4 единицы вправо по оси Ох;
Г) график заданной функции получаем из графика функции параллельным переносом его на две единицы вниз по оси Оу (рис. 5.9).
Описание степенных функций: виды, свойства, графики
Точная наука математика (в переводе с древнего греческого обозначает «предмет обучения») включает целый ряд дисциплин, издавна достаточно изученных, развивающихся и появившихся недавно. «Кто овладел творениями Архимеда, будет меньше удивляться открытиям самых великих людей нашего времени» – так написал Г.В. Лейбниц, что актуально и сегодня. При штудировании раздела математики степенные функции, как и остальных тем, разбираются изначально более простые объекты, постепенно переходят к сложным, не оставляя непонятного.
Что это такое? Основные понятия и определения
Азы алгебраического анализа математики станут пошагово яснее с помощью основных первичных понятий, определений, правил. Так на Рис.1 отображены термины и обозначения (понятийные ключи) направлений при переходе от «Начало» к исследованию функций для переменных в алгебре, к другим разделам царицы наук.
Обучение начинается от простых математических терминов – изначальных определений:
Переменная – символ в математике, свободная величина (аргумент функции), может принимать любое из ряда значений фиксированной области (вес зависит от возраста теленка, x в алгебре);
Функция – соответствие (зависимость) между «связанными» изменяемыми элементами; каждое значение зависимой функции определяется конкретной независимой величиной (переменной). Или же это формула, отображающая здравый смысл зависимости переменных (в математике обозначается y= f(x));
Степень – для общего случая, какая-либо мера в сравнении, в алгебре – это выражение, служащее для упрощения многократного умножения основания x (числа, переменной, функции ) на самое себя (пример обозначения: x^2). Количество одинаковых множителей называется показателем степени. В алгебре показатели степени могут быть целыми (четными и нечетными), дробными и иррациональными;
Иррациональное число представляют как непериодическую бесконечную десятичную дробь (число = 3,1415926535…);
Производная – тоже функция (вторичная), образованная от первичной, обозначается Y= f’(x) (как скоростная характеристика движения, как угол наклона касательной к линии);
Степенная функция – это функциональная зависимость вида f(x)=. Например, кубическая (объем) функционально зависит от длины ребра куба (x), его третьей степени (y=).
Виды, свойства и область определения
Разделяют зависимости (f(x)) на простые (элементарные) и сложные. Степенная функция относится к ряду элементарных.
По показателю степени (характеристике числа) определяются присущие свойства степенной функции. На Рис.2 приведена классификация множества вещественных чисел. Собственно вид построения функционального степенного графика с целым натуральным или отрицательным показателем зависит как от знака, так и от четности числа показателя. Частных случаев действительных чисел (типовых) в показателе степени насчитывается более десятка.
Для сложных соответствий присуще применение к переменной нескольких функциональных «воздействий», при этом получается, как будто новая функция берется от другой «функции-аргумента». При фиксировании функциональных зависимостей используются следующие способы:
Табличный (значения «икса» в соответствии с «игреком» для заданной f (x));
Функция с целым плюсовым показателем степени при четном n будет четной, а при нечетном n – нечетной. Множество величин переменных относится в свойствах зависимостей к области определения (как определяется совокупность аргументов x). Величины допустимых итогов функции (y) на определенных участках фиксируются как диапазон значений.
Линейную зависимость общего вида y = kx + b можно считать степенной с показателем степени n=1. Если n=0, x≠0 (т.к. ноль в нулевой степени не определено), то функция становится константой-единицей. Особенность функций с 2k целым минусовым показателем – симметричность около оси ординат, четность. Для функций с целым 2k-1 показателем 1 (Рис.6,9), − 1 0 рисунке: положительные, отрицательные, целые, четные, нечетные, дробные).
Рис.6 y=х^п, п-четное, вид параболы.
Рис.7 y=x^n. n-нечетное, вид кубической параболы.
Рис.8 y=х^(-n), когда — чётное число
Рис.9 y =х^(-n), когда — нечётное число
Рис.10 y=х^(m\п)m\п—неправильная дробь
Квадратичные неравенства с 2 переменными:
Решая попарно уравнения прямых (пересечение), находятся три вершины треугольника С, В, А.
Для С – у=-2; х=6. Для В – х=0;у=1. Для А – у=-2; х=-3.
Найти подходящий к системе неравенств участок координатной плоскости.
Неравенства в системе верны в области точек нижнего полукруга и линии контура (Рис.4).
Проверим подстановкой (-0.2;-0.2) 0.08 0,
Отмечаются на числовой оси промежутки по результатам трех отношений (Рис.5 ).
После объединения для всех неравенств подходит «луч» из точки ≥50.
Для помощи при решении квадратичных неравенств, используя равнозначно соответствующее уравнение ax 2 + bx + c = у, с дискриминантом D = b 2 − 4ac, предлагается табличный алгоритм нахождения участков переменных x в зависимости от знаков коэффициента a и D. Причем старший коэффициент а≠0. Необходимо находить корни при положительном D для разложения на множители, упрощения, использования метода интервалов.
Как записать общее решение?
Сообразно четкой математической формулировке, отображению решения используются дополнительные условные символы. При вычислении результатов объединенных неравенств ищется пересечение решений, когда их нет, то ответом является пустое множество x:
Если встречается «пустое» неравенство, то результат находится хотя бы из одного уравнения системы.
Если отношение строгое, тогда отрезок решения считается открытым, со скобками ( ), без включения на отрезки пограничных точек. Если – нестрогое, то решение будет закрытым отрезком, включающим граничные точки.
Если из всего целого интервала исключают точку 5, то возможно оформление со знаком \:
Откроется еще много новых понятий, определений, знаковых обозначений благодаря осознанному изучению математических наук.
Приведены не все типы из многообразия неравенств, могут быть более сложные. Для их решения необходимо научиться разбираться в применяемых методах и способах специалистам, которые встречаются с необходимостью оптимизации процессов, допусками и ограничениями, учетом влияния нескольких параметров (математики, программисты, физики, экономисты).