Таблица квадратов как быстро запомнить
Таблица квадратов чисел до 100 за неделю. Как выучить квадраты чисел без зубрежки за неделю
Книга является продолжением методики, использованной в книге «Таблица умножения за 3 дня». Методики, в которой результат получается методом лёгких вычислений без «зубрёжки» (аналогично тому, как получается результат умножения на 10, путём приписывания цифры 0 к умножаемому). Вычисления доступны ученикам 3-го класса (знают таблицу умножения и умеют делать арифметические действия).
Оглавление
Приведённый ознакомительный фрагмент книги Таблица квадратов чисел до 100 за неделю. Как выучить квадраты чисел без зубрежки за неделю предоставлен нашим книжным партнёром — компанией ЛитРес.
Формула квадратов чисел от 11 до 19
Данная формула применима для вычисления квадратов, как частного случая умножения чисел от 11 до 19, когда оба числа одинаковые.
Детям младших классов (3—5 класс) формулу объясняю как методику.
Обозначим цифры единиц чисел из интервала [11, 19] как Х и У. Тот факт, что число десятков равно 1, учтём в формуле как 1 в нужном разряде. Нижним подчёркиванием (вместо математического верхнего) покажем, что умножаются числа 1Х и 1У. Тогда вся формула будет иметь вид:
Формула умножения, чисел из отрезка [11, 19]
Словами можно объяснить так:
Приумножении чисел из промежутка [11, 19] нужно поступить таким образом. К первому числу надо добавить единицы второго числа (можно наоборот ко второму числу прибавить единицы первого числа). Полученный результат умножить на 10 (приписать справа 0) и прибавить произведение единиц первого и второго числа.
Так как данная книга о квадратах чисел, то применим данную формулу к частным случаям (когда Х=У):
11 2 =11*11= (11+1) *10+1*1=120+1=121;
Необходимо добиться навыка подсчета таких чисел, как в последних двух примерах (18 и 19), когда многие промежуточные выкладки сведены к сумме двух слагаемых. Вполне можно добиться навыка простого запоминания этих квадратов. Подробнее о технике запоминания будет изложено в другом разделе книги, касающегося мнемотехники.
Доказать справедливость формулы подсчёта таких чисел можно алгебраическими методами.
Перепишем числа 1Х и 1У как 10+Х и 10+У, где Х и У это единицы первого и второго числа.
Тогда (10+Х) * (10+У) =100+10Х+10У+Х*У= (10+Х+У) *10+Х*У.
Выражение в скобках (10+Х+У) это сумма первого числа 10+Х с единицами У второго числа или сумма второго числа 10+У с единицами Х первого числа. Далее полученный результат умножается на 10 и суммируется с произведением единиц первого и второго чисел. Данное правило и было описано словесно в этой главе.
Формула квадратов для чисел, оканчивающихся на 5
Эта формула распространяется и на другие случаи умножения двузначных чисел с одинаковым числом десятков и когда сумма единиц равна 10. Один из частных случаев этой формулы применяется для вычисления квадратных корней для чисел, оканчивающихся на 5.
В этой главе приведу частный случай этой формулы. О самой формуле напишу более подробно в другой моей книге.
Формула вычисления квадратов, для чисел, оканчивающихся на 5:
Квадраты чисел, оканчивающихся на 5
По сути, если число заканчивается на 5, то нужно число десятков увеличить на 1 и перемножить эти числа, в конце полученного результата дописать 25.
1) 15 2 =1* (1+1) *100+5 2 =200+25=225;
2) 25 2 =2* (2+1) *100+5 2 =600+25=625;
3) 75 2 =7*8*100+5 2 =5600+25=5625;
5) 115 2 =11*12*100+25=13225
На практике никакого умножения на 100 не производится. На самом деле сначала пишут результат умножения числа десятков на следующее за ним число и к нему приписывается 25:
Представим число оканчивающееся на 5 как 10*Х+5, где Х-любое число из натурального ряда (5 пример показывает, что число может быть любым, а не только однозначным).
Х5 2 = (10Х+5) * (10Х+5) =100Х 2 +50Х+50Х+5*5=100Х 2 +100Х+25=100Х* (Х+1) +25=Х* (Х+1) *100+25=Х* (Х+1) 25
Формула квадратов чисел от 25 до 50
Многие вычислители (ментальные счётчики, фокусники-математики) используют следующую формулу для вычисления чисел из отрезка [25;50].
Быстрое возведение чисел от 1 до 100 в квадрат
Вдохновленный этой статьей, решил поделиться с вами способом быстрого возведения в квадрат. Возведение в квадрат более редкая операция, нежели умножение чисел, но под нее существуют довольно интересные правила.
*квадраты до сотни
Для того, чтобы бездумно не возводить в квадрат по формуле все числа, нужно максимально упростить себе задачу следующими правилами.
Правило 1 (отсекает 10 чисел)
Для чисел, оканчивающихся на 0.
Если число заканчивается на 0, умножить его не сложнее, чем однозначное число. Стоит лишь дописать пару нулей.
В таблице отмечены красным.
Правило 2 (отсекает 10 чисел)
Для чисел, оканчивающихся на 5.
Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно умножить первую цифру (x) на (x+1) и дописать к результату “25”.
В таблице отмечены зеленым.
Правило 3 (отсекает 8 чисел)
Для чисел от 40 до 50.
Достаточно трудно, верно? Давайте разберем пример:
В таблице отмечены светло-оранжевым.
Правило 4 (отсекает 8 чисел)
Для чисел от 50 до 60.
Тоже достаточно трудно для восприятия. Давайте разберем пример:
В таблице отмечены темно-оранжевым.
Правило 5 (отсекает 8 чисел)
Для чисел от 90 до 100.
Похоже на правило 3, но с другими коэффициентами. Давайте разберем пример:
В таблице отмечены темно-темно-оранжевым.
Правило №6 (отсекает 32 числа)
Необходимо запомнить квадраты чисел до 40. Звучит дико и трудно, но на самом деле до 20 большинство людей знают квадраты. 25, 30, 35 и 40 поддаются формулам. И остается лишь 16 пар чисел. Их уже можно запомнить при помощи мнемоники (о которой я также хочу рассказать позднее) или любыми другими способами. Как таблицу умножения 🙂
В таблице отмечены синим.
Вы можете запомнить все правила, а можете запомнить выборочно, в любом случае все числа от 1 до 100 подчиняются двум формулам. Правила же помогут, не используя эти формулы, быстрее посчитать больше 70% вариантов. Вот эти две формулы:
Формулы (осталось 24 числа)
Для чисел от 25 до 50
Для чисел от 50 до 100
Конечно не стоит забывать про обычную формулу разложения квадрата суммы (частный случай бинома Ньютона):
UPDATE
Произведения чисел, близких к 100, и, в частности, их квадраты, также можно вычислять по принципу «недостатков до 100»:
Словами: из первого числа вычитаем «недостаток» второго до сотни и приписываем двузначное произведение «недостатков».
Для квадратов, соответственно, еще проще.
Возведение в квадрат, возможно, не самая полезная в хозяйстве вещь. Не сразу вспомнишь случай, когда может понадобиться квадрат числа. Но умение быстро оперировать числами, применять подходящие правила под каждое из чисел отлично развивает память и «вычислительные способности» вашего мозга.
Кстати, думаю, все читатели хабры знают, что 64^2 = 4096, а 32^2 = 1024.
Многие квадраты чисел запоминаются на ассоциативном уровне. Например, я легко запомнил 88^2 = 7744, из-за одинаковых чисел. У каждого наверняка найдутся свои особенности.
Две уникальные формулы я впервые нашел в книге «13 steps to mentalism», которая мало связана с математикой. Дело в том, что раньше (возможно, и сейчас) уникальные вычислительные способности были одним из номеров в сценической магии: фокусник рассказывал байку о том, как он получил сверхспособности и в доказательство этого моментально возводит числа до сотни в квадрат. В книге так же указаны способы возведения в куб, способы вычитания корней и кубических корней.
Если тема быстрого счета интересна — буду писать еще.
Замечания об ошибках и правки прошу писать в лс, заранее спасибо.
Желательно помнить:
Квадраты чисел от 1 до 25
Конечно, необязательно зубрить столбики цифр, два числа всегда можно перемножить на бумаге или воспользоваться калькулятором. Но, чем больше значений вы будете помнить наизусть, тем быстрее будете решать простые примеры. Экономить время экзамена для более сложных заданий, это очень важно. А еще важнее «узнавать в лицо» квадраты, чтобы догадаться какие из формул сокращенного умножения можно применить.
А как об этом догадаться, если не знать, являются ли 259 и 529 квадратами целых чисел?
| 1 2 = 1 | 6 2 = 36 | 11 2 = 121 | 16 2 = 256 | 21 2 = 441 |
| 2 2 = 4 | 7 2 = 49 | 12 2 = 144 | 17 2 = 289 | 22 2 = 484 |
| 3 2 = 9 | 8 2 = 64 | 13 2 = 169 | 18 2 = 324 | 23 2 = 529 |
| 4 2 = 16 | 9 2 = 81 | 14 2 = 196 | 19 2 = 361 | 24 2 = 576 |
| 5 2 = 25 | 10 2 = 100 | 15 2 = 225 | 20 2 = 400 | 25 2 = 625 |
Если считаете, что выучили таблицу, хотя бы в первом приближении, то проверьте, как это повлияло на ваш устный счет.
Квадратные корни
Прежде чем переходить к заучиванию значений корней, давайте еще раз посмотрим на таблицу квадратов. Обратите внимание на то, что результаты всегда заканчиваются цифрами 1, 4, 5, 6, 9, 0 и никогда не заканчиваются цифрами 2, 3, 7, 8. Причём, 1-цу в конце дают числа, заканчивающиеся на 1 или 9, 4-ку дают 2 или 8, 9-ку дают 3 или 7, 6-ку дают 4 или 6. Если же число было кратным 5, то при возведении в квадрат последние две цифры 00 или 25.
| 1 2 = 1 | 2 2 = 4 | 3 2 = 9 | 4 2 = 16 | 5 2 = 25 |
| 9 2 = 81 | 8 2 = 64 | 7 2 = 49 | 6 2 = 36 | 10 2 = 100 |
| 11 2 = 121 | 12 2 = 144 | 13 2 = 169 | 14 2 = 196 | 15 2 = 225 |
| 19 2 = 361 | 18 2 = 324 | 17 2 = 289 | 16 2 = 256 | 20 2 = 400 |
| 21 2 = 441 | 22 2 = 484 | 23 2 = 529 | 24 2 = 576 | 25 2 = 625 |
Если вы запомните этот вариант таблицы квадратов, то таблицу корней, фактически, можно не учить. Вы легко будете подбирать «претендента» на значение корня и быстро проверять его умножением. Для разнообразия таблицу корней упорядочим по убыванию.
Все три верхние таблицы надо учить вместе, а проверять взразброс.
Степени чисел 2, 3 и 5
| 2 0 = 1 | 2 6 = 64 | 3 0 = 1 | 5 0 = 1 |
| 2 1 = 2 | 2 7 = 128 | 3 1 = 3 | 5 1 = 5 |
| 2 2 = 4 | 2 8 = 256 | 3 2 = 9 | 5 2 = 25 |
| 2 3 = 8 | 2 9 = 512 | 3 3 = 27 | 5 3 = 125 |
| 2 4 = 16 | 2 10 = 1 024 | 3 4 = 81 | 5 4 = 625 |
| 2 5 = 32 | 2 20 = 1 048 576 | 3 5 = 243 | 5 5 = 3 025 |
Обратите внимание:
2 0 байта = 1 байт;
2 10 байта = 1024 байта = 1 килобайт;
2 20 байта = 1048576 байта = 1024 килобайта = 1 мегабайт;
2 30 байта = 1073741824 байта = 1048576 килобайт = 1024 мегабайта = 1 гигабайт.
Логарифмы
Значения тригонометрических функций для основных углов
Если Вам тяжело запомнить все значения из этой таблицы, то выучите только значения для sinα. Строка для функции cosα содержит эти же величины, но в обратном порядке. Значения tgα всегда можно вычислить по формуле sinα/cosα, а значения ctgα – как 1/tgα.
Или параллельно с заучиванием значений функций для основных углов поработайте с тригонометрическим кругом.
Простые числа в пределах 100
| 2 | 11 | 23 | 31 | 41 | 53 | 61 | 71 | 83 | 97 |
| 3 | 13 | 29 | 37 | 43 | 59 | 67 | 73 | 89 | |
| 5 | 17 | 47 | 79 | ||||||
| 7 | 19 |
Обратите внимание, числа из каждого десятка расположены в одном столбике. Рекомендую так и запоминать. Постепенно. Сначала до 20, потом до 30. и, наконец, в последнем десятке только число 97.
Постоянные
В школьной математике широко используются два иррациональных числа π и e. Особенно часто втречается число π и его доли. Например, в тригонометрии угол в π/3 радиана соответствует углу 60°. Чаще всего во время вычислений мы не используем значения этих чисел, а только их символьные обозначения. Обычно, так же записываем ответ. Но при выборе корней, при решении неравенств, при любом сравнении, требуются хотя бы приблизительные численные значения. Придётся запомнить.
| π ≈ 3,1416 | π/2 ≈ 1,5708 | e ≈ 2,7182 |
| 2π ≈ 6,2832 | π/3 ≈ 1,0472 | e 2 ≈ 7,3890 |
| 3π ≈ 9,4248 | π/4 ≈ 0,7854 | √e ≈ 1,6487 − |
| 4π ≈ 12,5663 | π 2 ≈ 9,8696 |
Рекомендуемая литература: компактные справочные материалы, например, такие, как справочник «Математика» В.А. Гусева и А.Г. Мордковича или брошюра «Как готовиться к экзамену по математике» Ивлиевой E.Г.
Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.
Таблица квадратов чисел до 100 за неделю. Как выучить квадраты чисел без зубрежки за неделю
Книга является продолжением методики, использованной в книге «Таблица умножения за 3 дня». Методики, в которой результат получается методом лёгких вычислений без «зубрёжки» (аналогично тому, как получается результат умножения на 10, путём приписывания цифры 0 к умножаемому). Вычисления доступны ученикам 3-го класса (знают таблицу умножения и умеют делать арифметические действия).
Оглавление
Приведённый ознакомительный фрагмент книги Таблица квадратов чисел до 100 за неделю. Как выучить квадраты чисел без зубрежки за неделю предоставлен нашим книжным партнёром — компанией ЛитРес.
© Станислав Баранов, 2019
Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero
Хороший способ лучше и быстрее запомнить что-либо — это попытаться объяснить другому человеку то, что нужно запомнить или понять вам самим. Таким образом, вы посылаете в мозг сигнал о том, что изучаемая тема крайне важна.
Автор рекомендует дочитать эту книгу полностью, даже если Вы сочли вполне подходящими методы, представленные в начале книги. В первом разделе автор представит общепринятые методы для вычисления квадратов чисел. Среди этих методов будут известные (их изучают в школьном курсе) и малоизвестные, которые используют различные люди-счётчики (фокусники-математики и т.д.). Эти методы вполне подходят для учеников старших классов (8—11 класс).
Для математиков и тех, кто хочет разобраться в формулах буду приводить доказательства. Доказательства не обязательны к прочтению и будут оформлены курсивом.
Как легко запомнить квадраты чисел от 11 до 19
«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
Как возводить числа от 11 до 19 в квадрат?!
Как возводить числа от 11 до 19 в квадрат?! Без калькулятора Без решения в столбик
Для этого просто нужно Данное число умножить на 10; Прибавить к результату число десятков первого результата Прибавить квадрат числа, стоящего в разряде единиц!
Объясню на примере: Возвести в квадрат число 19 Решение: 19*10 = 190 190 + 90 = 280 280 + 92 = 280 + 81 = 361 192 = 190 + 90 + 81 = 361
Закрепим полученные знания: 112 = 110 + 10 + 1 = 121 122 = 120 + 20 + 4 = 144 132 = 130 + 30 + 9 = 169 142 = 140 + 40 + 16 = 196 152 = 150 + 50 + 25 = 225 162 = 160 + 60 + 36 = 256 172 = 170 + 70 + 49 = 289 182 = 180 + 80 + 64 = 324
Спасибо за внимание!
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-1391556
Не нашли то, что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Названы главные риски для детей на зимних каникулах
Время чтения: 3 минуты
В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения создает цифровую психологическую службу для школьников
Время чтения: 1 минута
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
В России стартует пилотный проект по реабилитации детей-инвалидов
Время чтения: 2 минуты
Ученые изучили проблемы родителей, чьи дети учатся в госпитальных школах
Время чтения: 5 минут
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.