Теорема наоборот как называется

ОБРА́ТНАЯ ТЕОРЕ́МА

Том 23. Москва, 2013, стр. 536-537

Скопировать библиографическую ссылку:

ОБРА́ТНАЯ ТЕОРЕ́МА, тео­ре­ма, ус­ло­ви­ем ко­то­рой слу­жит за­клю­че­ние ис­ход­ной (пря­мой) тео­ре­мы, а за­клю­че­ние – ус­ло­ви­ем. Об­рат­ной к О. т. яв­ля­ет­ся ис­ход­ная (пря­мая) тео­ре­ма. Т. о., пря­мая и О. т. вза­им­но об­рат­ны. Напр., тео­ре­мы «ес­ли два уг­ла тре­уголь­ни­ка рав­ны, то их бис­сек­три­сы рав­ны» и «ес­ли две бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка рав­ны, то со­от­вет­ст­вую­щие им уг­лы рав­ны» яв­ля­ют­ся об­рат­ны­ми друг дру­гу. Из спра­вед­ли­во­сти к.-л. тео­ре­мы, во­об­ще го­во­ря, не сле­ду­ет спра­вед­ли­вость об­рат­ной к ней тео­ре­мы. Напр., тео­ре­ма «ес­ли чис­ло де­лит­ся на 6, то оно де­лит­ся и на 3» вер­на, а О. т. «ес­ли чис­ло де­лит­ся на 3, то оно де­лит­ся и на 6» не­вер­на. Да­же ес­ли О. т. вер­на, для её до­ка­за­тель­ст­ва мо­гут ока­зать­ся не­дос­та­точ­ны­ми сред­ства, ис­поль­зуе­мые при до­ка­за­тель­ст­ве пря­мой тео­ре­мы. Напр., в евк­ли­до­вой гео­мет­рии вер­ны как тео­ре­ма «две пря­мые, имею­щие об­щий пер­пен­ди­ку­ляр, не пе­ре­се­ка­ют­ся», так и об­рат­ная к ней тео­ре­ма «две не­пе­ре­се­каю­щие­ся пря­мые на плос­ко­сти име­ют об­щий пер­пен­ди­ку­ляр». Од­на­ко вто­рая (об­рат­ная) тео­ре­ма ос­но­вы­ва­ет­ся на евк­ли­до­вой ак­сио­ме о па­рал­лель­ных, то­гда как для до­ка­за­тель­ст­ва пер­вой эта ак­сио­ма не нуж­на. В гео­мет­рии Ло­ба­чев­ско­го вто­рая тео­ре­ма про­сто не­вер­на, то­гда как пер­вая ос­та­ёт­ся в си­ле. О. т. рав­но­силь­на тео­ре­ме, про­ти­во­по­лож­ной к пря­мой, т. е. тео­ре­ме, в ко­то­рой ус­ло­вие и за­клю­че­ние пря­мой тео­ре­мы за­ме­не­ны их от­ри­ца­ния­ми. По­это­му пря­мая тео­ре­ма рав­но­силь­на тео­ре­ме, про­ти­во­по­лож­ной к об­рат­ной, т. е. тео­ре­ме, ут­вер­ждаю­щей, что ес­ли не­вер­но за­клю­че­ние пер­вой тео­ре­мы, то не­вер­но и её ус­ло­вие. Из­вест­ный спо­соб «до­ка­за­тель­ст­ва от про­тив­но­го» как раз пред­став­ля­ет со­бой за­ме­ну до­ка­за­тель­ст­ва пря­мой тео­ре­мы до­ка­за­тель­ст­вом тео­ре­мы, про­ти­во­по­лож­ной к об­рат­ной. Спра­вед­ли­вость обе­их вза­им­но об­рат­ных тео­рем оз­на­ча­ет, что вы­пол­не­ние ус­ло­вия лю­бой из них не толь­ко дос­та­точ­но, но и не­об­хо­ди­мо для спра­вед­ли­во­сти за­клю­че­ния (см. Не­об­хо­ди­мые и дос­та­точ­ные ус­ло­вия ).

Источник

Обратная теорема

Полезное

Смотреть что такое «Обратная теорема» в других словарях:

ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА — теорема, условием которой служит заключение исходной (прямой) теоремы, а заключением условие … Большой Энциклопедический словарь

обратная теорема — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN converse theorem … Справочник технического переводчика

обратная теорема — теорема, условием которой служит заключение исходной (прямой) теоремы, а заключением условие. * * * ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА, теорема, условием которой служит заключение исходной (прямой) теоремы, а заключением условие … Энциклопедический словарь

ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА — теорема, условием к рой служит заключение теоремы исходной (прямой), а заключением условие. Обратной к О. т. будет исходная (прямая) теорема, так что прямая и О. т. взаимно обратны. О. т. равносильна теореме, противоположной к прямой, т. е.… … Математическая энциклопедия

ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА — теорема, условием к рой служит заключение исходной (прямой) теоремы, а заключением условие … Естествознание. Энциклопедический словарь

Теорема Фалеса — Эта теорема о параллельных прямых. Об угле, опирающемся на диаметр, см. другую теорему. Теорема Фалеса одна из теорем планиметрии. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести… … Википедия

Теорема — (греч. theorema, от theoréo рассматриваю, исследую) предложение некоторой дедуктивной теории (см. Дедукция), устанавливаемое при помощи Доказательства. Каждая дедуктивная теория (математика, многие её разделы, логика, теоретическая… … Большая советская энциклопедия

Теорема Пифагора — Теорема Пифагора одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Содержание 1 … Википедия

ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ — воздействие результатов к. л. процесса на его протекание. Если при этом интенсивность процесса возрастает, то О. с. наз. п о л о ж и т е л ь н о й, а в противопол. случае о т р и ц а т е л ь н о й. Отрицат. О. с. может обеспечить автоматич.… … Физическая энциклопедия

обратная предельная теорема — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN converse limit theorem … Справочник технического переводчика

Источник

Презентация по геометрии по теме «Теорема, обратная данной»

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Теорема, обратная данной

Теорема – это утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, т.е. доказательством.

Теорема Условие Заключение

У З Теорема: У З Теорема, обратная данной

Теоремой, обратной данной называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы.

Теорема: Если два угла смежные, то их сумма = 180°. Теорема, обратная данной: Если сумма двух углов = 180°, то эти углы смежные.

Теорема, обратная данной: Если сумма двух углов = 180°, то эти углы смежные. В А О С а b 1 2

Теорема: Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны. Теорема, обратная данной: Если углы треугольника при основании равны, то этот треугольник равнобедренный.

А В С Теорема, обратная данной: Если углы треугольника при основании равны, то этот треугольник равнобедренный.

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Теорема, обратная данной: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Теорема, обратная данной: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов = 180°, то прямые параллельны. Теорема, обратная данной: Если две прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.

Задача №1: А С В М N

Задача №2: А В D E С 3 1 2

Задача №3: А В D E С

Задача №4: А С В D E

Задача №5: А С В D O

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: 5325021255

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Правительство направит регионам почти 92 миллиарда рублей на ремонт и оснащение школ

Время чтения: 1 минута

В Липецкой области начинающие педагоги получат 120 тысяч рублей

Время чтения: 0 минут

В России разработают рекомендации по сопровождению студентов с ОВЗ

Время чтения: 2 минуты

Во всех педвузах страны появятся технопарки

Время чтения: 1 минута

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Обратные предложения. Обучение учащихся построению обратных предложений

Разделы: Математика

Теория и практика методики обучения математике показывают, что учащемуся недостаточно знать лишь предметное содержание математического факта для его полноценно усвоения. Требуется ещё видеть и понимать способы организации этого содержания, заложенные в логической структуре изучаемого. Исходя из этого в математическом факте, входящем в состав образовательной области »математика», целесообразно выделить предметную и логическую составляющие. Содержание предметной составляющей достаточно долго являлось объектом пристального внимания исследователей в области методики обучения математике. Содержание же логической составляющей в явном виде практически не выделено. Математическое предложение является одним из основных способов представления предметной составляющей. Понимание особенностей построения математического предложения даёт возможность более осознанно усвоить заложенную в нём информацию.

Глава 1. Обратные предложения и их роль в математическом образовании.

1.1. Метод взаимно обратных задач.

Задачи обучения математике в средней школе разнообразны. Закономерно встаёт вопрос: какими должны быть методические пути и приёмы обучения, какое предметное содержание нужно отбирать для уроков, чтобы оптимально подойти к достижению поставленных целей? Одним из таких путей является использование метода взаимно обратных задач. Под этим методом следует понимать применение комплекса заданий: составление к данной теореме обратного утверждения (или всех возможных обратных утверждений) и проверку его истинности; использования утверждения данной теоремы при доказательстве обратной; выполнение некоторого действия взаимно обратными способами; параллельное выделение свойств понятий и их признаков и т.д.

Одним из важных следствий применения указанного метода является активизация учебно-познавательной деятельности учащихся, которым предоставляется возможность самостоятельно формулировать теоремы, составлять задачи, находить их решения, исследовать нестандартные ситуации. Использование метода взаимно обратных задач позволяет интенсифицировать деятельность учащихся, в то время как в практике обучения часто используется экстенсивный путь: стараются решать как можно больше задач, не вдаваясь в глубокое исследование каждой из них. Между тем опыт свидетельствует о том, что целесообразнее вместо двух разных задач решить две взаимно обратных задачи, вместо двух разных теорем доказать две взаимно обратных теоремы, что обогатит мыслительную деятельность учащихся новыми приемами, способами действий. Получается и выигрыш во времени: ученики работают с одними и теми же отношениями и объектами условия и заключения: чертёж тоже может быть один и тот же. Приёмы, составляющие метод взаимно обратных задач, позволяют осуществлять индивидуализацию обучения, дифференцированный подход к ученикам. Деятельность учащихся приобретает творческий характер: приходится самостоятельно выдвигать гипотезы и проверять их на правдоподобность; опровергать неверные утверждения, приводить контрпримеры. При этом знания становятся глубже и прочнее. Развивается логическое мышление.

Содержание школьного курса математики позволяет в полной мере использовать метод взаимно обратных задач. Так, в геометрии вводится понятие обратной теоремы. Кроме того, в учебнике имеются задания сформулировать и доказать теоремы, обратные утверждениям некоторых задач. Всё это говорит о том, что в обучении геометрии методу взаимно обратных задач должно уделяться достаточное внимание.

1.2. Логическая структура сложного предложения.

Логическая структура сложного предложения является одной из важнейших компонент логической составляющей математического материала. Наиболее распространены в математических текстах такие формы связи, как конъюнктивная («и»), дизъюнктивная («или»), импликативная («если. то:»), а так же отрицание. Понимание этого обстоятельства, знание основных форм логической организации текста могут существенно облегчить обучаемым сознательное усвоение содержания данного текста. В качестве примера можно привести решение традиционной проблемы выбора между пересечением и объединением промежутков при решении системы либо совокупности уравнений или неравенств. Трудности выбора практически исчезают, если актуализировать логический смысл союзов «и» и «или». Союз «и» означает конъюнкцию, которой является система уравнений или неравенств, а союз »или» символизирует их дизъюнкцию (совокупность).

Логическая структура предложения часто бывает скрыта. Для того чтобы её выделить, следует переформулировать предложение. Примером может служить стандартный текст геометрической теоремы, допустим: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

В этом случае переформулировка также приводит к импликативной структуре: если треугольник равнобедренный, то в нём углы при основании равны.

В результате становится лучше видно, что дано и что требуется доказать, на какие исходные утверждения опирается вывод.

Появляется также возможность осознанно различать взаимно обратные утверждения.

Структура теоремы. Обратные предложения.

Глава 2 Построение обратных предложений.

2.1. Получение обратных предложений.

Необходимо формировать у школьников приёмы выделения условия и заключения теоремы (или задачи на доказательство), учить их формулировать встречающиеся утверждения в виде »если. то. ». Формирование этого приёма происходит при решение задач, хотя сам приём зачастую не осознаётся. Когда же выделение условия и заключения является необходимым этапом на пути к получению обратного предложения, то внимание учащихся фиксируется на нём целенаправленно. После того, как выделены условие и заключение теоремы, легко сформулировать обратное предложение

Пример. В параллелограмме диагонали, пересекаясь, делятся пополам.

противоположную:

обратную противоположной: .

В данной иллюстрации все четыре теоремы истины, в чём можно легко убедиться, проведя их доказательство. Однако так бывает не всегда. Между этими четырьмя видами теорем существует тесная связь, именно:

Каждую из этих эквивалентностей нетрудно обосновать с помощью таблицы истинности. Так, например, для второй эквивалентности имеем:

p	q			q => p		(q => p) ()
и	и	л	л	и	и	и
л	л	и	и	и	и	и
и	л	л	и	и	и	и
л	и	и	л	л	л	и

Взаимная связь теорем значительно облегчает практику их изучения. Вот почему в любом курсе математики нам встречаются обычно лишь прямая и обратная теоремы, а остальные теоремы встречаются редко.

Обратные теоремы могут быть неверными.

Обратные теоремы так же, как и прямые, могут быть как верны, так и не верны. Поэтому справедливость обратных теорем (как и прямых) подлежит доказательству.

Верна или не верна обратная теорема, часто зависит от того, как мы эту обратную теорему сформулируем.

Возьмём, например, теорему: «диагонали ромба взаимно перпендикулярны». Если обратную теорему сформулировать так: «четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны, есть ромб», то эта теорема окажется неверной. Если же сформулировать её так: «параллелограмм диагонали, которого взаимно перпендикулярны, есть ромб», то она окажется верной.

Итак, обратную теорему мы можем строить двояким образом: или взять в качестве заключения в обратной теореме все условия, накладываемые на объект в прямой теореме, а условием обратной теоремы сделать только одно заключение прямой, или взять в качестве заключения обратной теоремы только часть условий, накладываемых на объект в прямой теореме, а остальную часть условий прямой теоремы вместе с её заключением сделать условием обратной теоремы.

Чтобы у школьников не сложилось представление, будто все обратные предложения верны, необходимо подбирать и такие задачи, обратное утверждение к которым оказывалось бы неверным. Например, задача.

Докажите, что у равных треугольников АВС и А1 В1 С1 медианы, проведенные из вершин А и А1, равны.

Обратное утверждение: если медианы, проведённые из вершины А и А1 треугольников АВС и А1 В1 С1 равны, то эти треугольники равны.

Ученикам нужно давать задания, чтобы выполняя их, они самостоятельно убеждались в том, что некоторые обратные предложения неверны.

Таким образом, если условие прямой теоремы сложное, то можно сформулировать несколько обратных предложений: некоторые из них (или все) могут оказаться ложными.

Теоремы, имеющие сложное заключение.

Большую дидактическую ценность представляют теоремы, имеющие сложное заключение из нескольких суждений, т.е. теоремы вида «если А, то В1 и В2, и В3. Вn». Обратное предложение будет иметь такой вид: «если В1 и В2, и В3. и Вn, то А». Однако может оказаться, что условие в нём избыточно. Поэтому перед учениками ставится задача: среди В1, В2, В3. Вn найти минимальную группу таких условий, из наличия которых будет следовать А. При выполнении задания ученик должен уметь строить контрпримеры. Без этого его работа будет малоэффективной. Например, может оказаться, что выбранная группа условий не является достаточной для А, поэтому попытки вывести А из этой группы, как следствие, к успеху не приведут. Значит, ученик должен построить контрпример.

Подобные теоремы, по существу, есть не что иное, как совокупность нескольких теорем с одинаковыми условиями. Сконструировать такую теорему можно, предложив ученикам назвать, например, свойства параллелограмма.

При доказательстве обратных теорем большую помощь могут оказать исходные (прямые) предложения.

Выполняя различные задания, о которых говорилось выше, школьники приобретают умение синтезировать условия для получения необходимого результата, самостоятельно конструируют новые для себя теоремы, учатся отделять условие от заключения, не создавать порочный круг в доказательстве, пользуясь ещё недоказанным свойством как условием.

Такие задания, как показывает практика, прекрасно активизируют познавательную деятельность школьников. Строя контрпример, он всякий раз должен учиться исследовать достаточность взятых условий на правдоподобие. Его деятельность приобретает продуктивный, творческий характер.

Источник

Прямая и обратная теоремы

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Прямая и обратная теоремы

Понятия прямой и обратной теорем всегда вызывает у учащихся большую путаницу. Доказательством тому служат экзаменационные работы учащихся 9 и 11 классов, где постоянно встречаются ошибки, связанные с применением прямой и обратной теорем Виета, на экзамене по геометрии возникают недоразумения с использованием прямых и обратных теорем Фалеса и Пифагора.

Теорема, обратная теореме Пифагора.

Цели урока: познакомить учащихся с теоремой, обратной теореме Пифагора;
показать ее применение на практике;
уметь применять теорему для решения задач;
отработка навыков устного счета;
развитие умения грамотного использования математических терминов;
развитие логического мышления.

I. Организационный момент.

II. Актуализация опорных знаний
В кроссворде зашифрованы основные понятия и формулы по теме “Четырехугольники”. В выделенном столбце получится ключевое слово урока.

Четырехугольник, у которого 2 стороны параллельны, а две другие нет.

Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла.

Латинский …, используемый в геометрии.

Четырехугольник, площадь которого равна квадрату его стороны.

Треугольник, у которого квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений.

Четырехугольник, площадь которого равна половине произведения его диагоналей.

III. Устная работа.

Вычислить гипотенузу, если катеты равны 3 см и 4 см; 6 см и 8 см; v?23 см и v?15 см; а см и 3а см;
Вычислить катет, если гипотенуза равна 5 см, а катет равен 4 см; гипотенуза равна 7а см, а катет равен 3а см; гипотенуза равна v?78 см, а катет равен v?56 см.

IV. Подготовительный этап

Что такое обратная теорема?
Сформулируйте утверждения, обратные данным (верны ли они?):

если углы вертикальные, то они равны;

если четырехугольник является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны;

если четырехугольник является трапецией, то две его стороны параллельны.

Сформулируйте утверждение, обратное теореме Пифагора.

V. Доказательство теоремы.
Доказательство проводится учителем на доске, учащиеся записывают его в тетрадь.

VI. Закрепление:

Пифагоровы треугольники – треугольники, стороны которых выражаются целыми числами;

Египетский треугольник – со сторонами 3см, 4 см, 5см.
Далее следует рассказ учителя о построении прямых углов в Древнем Египте с демонстрацией с помощью веревки, разделенной узелками на 12 равных частей.

VII. Математический диктант с самопроверкой.

Теорема, обратная теореме Пифагора звучит следующим образом:

Если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
Ответ: да

Найти гипотенузу, если катеты равны 9см и 12 см.

Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла называется …

Является ли прямоугольным треугольник со сторонами 4 см, 5 см, 6 см?

Является ли прямоугольным треугольник со сторонами 3/4 см, 5/4 см, 7/4 см?

Является ли прямоугольным треугольник со сторонами 10 см, 24 см, 26 см?

Какое утверждение Вы использовали при ответе на последние три вопроса?

Ответ: теорема, обратная теореме Пифагора.

После проведения диктанта учащиеся по одному читают верные ответы, а все остальные проверяют свои работы.

V. Итог урока.

Домашнее задание: 498(д, е), 499(а), доказательство теоремы.

Курс повышения квалификации

Охрана труда

Курс профессиональной переподготовки

Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе

Курс профессиональной переподготовки

Охрана труда

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДВ-476850

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Итоговое сочинение успешно написали более 97% выпускников школ

Время чтения: 2 минуты

Большинство родителей в России удовлетворены качеством образования в детсадах

Время чтения: 2 минуты

Во всех педвузах страны появятся технопарки

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения создает цифровую психологическую службу для школьников

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник