Докажите что площадь s выпуклого четырехугольника со сторонами a b c d
Докажите что площадь s выпуклого четырехугольника со сторонами a b c d
Задача 40:
Длины сторон выпуклого четырехугольника равны a, b, c и d (перечислены по часовой стрелке). Докажите, что площадь четырехугольника не превосходит а) (ab + cd)/2; б) (a + b)(c + d)/4.
Решение:
а) Пусть a = |AB|, b = |BC|, c = |CD|, d = |DA|. Тогда S(ABC) ≤ ab/2, S(CDA) ≤ cd/2 и осталось лишь сложить эти неравенства. б) Используйте пункт а) и то, что четырехугольник ABCD можно, разрезав по диагонали AC и перевернув одну из частей, превратить в четырехугольник с той же площадью, но с порядком сторон a, b, d, c.
Задача 41:
Могут ли длины высот треугольника относиться друг к другу как 1:2:3?
Решение:
Пусть S – площадь этого треугольника, a, b и c – длины его сторон. Тогда длины высот равны 2S/a, 2S/b и 2S/c. Значит, a:b:c = 1:1/2:1/3, что, как нетрудно видеть, противоречит неравенству треугольника.
Задача 42:
Треугольник площади 1 имеет стороны с длинами a, b и c, причем a ≥ b ≥ c. Докажите, что 
.
Решение:
Так как bc/2 ≥ 1, то b² ≥ 2.
Задача 43:
Могут ли длины всех сторон треугольника площади 1 быть больше 1000?
Решение:
Да, такое возможно. Рассмотрите треугольник ABC, в котором 
, AB = BC = 1001, где 
– маленькое положительное число.
Задача 44:
Точки K, L, M и N – середины сторон выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что 2S(KLMN) = S(ABCD).
Решение:
Разрежьте ABCD на две части диагональю AC и докажите требуемое равенство для каждой части отдельно.
Задача 45:
Найдите площадь выпуклого четырехугольника ABCD, если прямая AC перпендикулярна прямой BD и AC = 3, BD = 8.
Решение:
Задача 46:
Решение:
Ответ: 7. Площадь каждого из трех «дополнительных» треугольников равна 2 – докажите это.
Задача 47:
Точка M лежит внутри треугольника ABC. Докажите, что площади треугольников ABM и BCM тогда и только тогда, когда M лежит на медиане BK.
Решение:
Равенство площадей равносильно равенству высот, опущенных из A и C соответственно на BM, а это ввиду наличия соответствующих равных треугольников, равносильно тому, что точка пересечения (BM) и [AC] делит [AC] пополам.
Задача 48:
Если два выпуклых четырехугольника расположены так, что середины сторон у них совпадают, то их площади равны. Докажите это.
Задача 49:
Диагонали трапеции ABCD (BC || AD) пересекаются в точке O. Докажите, что треугольники AOB и COD равновелики.
Решение:
Докажите, что треугольники ABD и ACD равновелики.
Задача 50:
Докажите, что сумма расстояний от точки, находящейся внутри правильного треугольника, до его сторон не зависит от положения точки.
Решение:
Если дана точка O в равностороннем треугольнике ABC, то можно подсчитать площадь треугольника ABC как сумму площадей треугольников OAB, OBC и OAC, опуская перпендикуляры из O на стороны треугольника.
Площади четырехугольников
В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:
которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.
Формулы для площадей четырехугольников
| Четырехугольник | Рисунок | Формула площади | Обозначения | ||||||||||||||||||||||||||||
| Прямоугольник |  | S = ab | |||||||||||||||||||||||||||||
 | |||||||||||||||||||||||||||||||
 | |||||||||||||||||||||||||||||||
 | |||||||||||||||||||||||||||||||
 | |||||||||||||||||||||||||||||||
 | |||||||||||||||||||||||||||||||
 | |||||||||||||||||||||||||||||||
 | |||||||||||||||||||||||||||||||
 | |||||||||||||||||||||||||||||||
 | |||||||||||||||||||||||||||||||
 | |||||||||||||||||||||||||||||||
 | |||||||||||||||||||||||||||||||
 | |||||||||||||||||||||||||||||||
 |  | ||||||||||||||||||||||||||||||
 | |||||||||||||||||||||||||||||||
 | |||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| Квадрат | |||||||||||||||||||||||||||||||
 | S = a 2 где | ||||||||||||||||||||||||||||||
 | S = 4r 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||
 | |||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| | ||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||
где | |||||||||||||||||||||||||||||||
где Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R | |||||||||||||||||||||||||||||||
| Параллелограмм | |||||||||||||||||||||||||||||||
 где | |||||||||||||||||||||||||||||||
где | |||||||||||||||||||||||||||||||
φ – любой из четырёх углов между ними | |||||||||||||||||||||||||||||||
| Квадрат | |||||||||||||||||||||||||||||||
где | |||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||
Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R | |||||||||||||||||||||||||||||||
| Ромб | |||||||||||||||||||||||||||||||
 где | |||||||||||||||||||||||||||||||
где | |||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||
где | |||||||||||||||||||||||||||||||
| Трапеция | |||||||||||||||||||||||||||||||
где | |||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||
φ – любой из четырёх углов между ними | |||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| Дельтоид | |||||||||||||||||||||||||||||||
 где | |||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||
где | |||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| Произвольный выпуклый четырёхугольник | |||||||||||||||||||||||||||||||
φ – любой из четырёх углов между ними | |||||||||||||||||||||||||||||||
| Вписанный четырёхугольник | |||||||||||||||||||||||||||||||
где Формулу называют «Формула Брахмагупты» Вывод формул для площадей четырехугольников
что и требовалось доказать.
что и требовалось доказать. где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).
то, в силу утверждения 2, справедлива формула что и требовалось доказать.
где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).
что и требовалось доказать.
где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).
что и требовалось доказать.
что и требовалось доказать. где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).
Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то Четырехугольникитеория по математике 📈 планиметрияЧетырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки. Выпуклый четырехугольникЧетырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости (то есть все его стороны расположены только с одной стороны прямой, прямая НЕ разбивает фигуру) относительно прямой, содержащей любую его сторону. На рисунке показан выпуклый четырехугольник АВСD. Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины. На рисунке 2 диагоналями являются отрезки АС и BD. Виды и свойства выпуклых четырехугольниковСумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов. ПрямоугольникПрямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые. S=ab, где a и b соседние стороны прямоугольника. КвадратКвадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. ПараллелограммПараллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
ТрапецияТрапеция – это четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны – боковыми сторонами трапеции.
Виды трапецийТрапеция называется прямоугольной, если у нее боковая сторона перпендикулярна основаниям. Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла.
углы А и С равны по 90 градусов Средняя линия трапецииСделаем чертеж параллелограмма и покажем на нем биссектрисы углов, которые пересекаются в точке N.
Угол ANB равен углу NАD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей AN. А по условию углы BАN и NАD равны (AN биссектриса). Следовательно, углы BАN и BNА равны. Значит, треугольник ABN является равнобедренным, у него АВ= BN. Аналогично, через равенство углов CND, ADN и CDN доказывается, что треугольник CND является равнобедренным, у него CN=DC. По условию задачи мы имеем параллелограмм, а по свойству параллелограмма – противолежащие стороны равны, т.е. АВ=СD, значит, АВ=BN=NC=CD. Таким образом, мы доказали, что BN=NC, т.е. N – середина ВС. pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить Сделаем чертеж, выполнив на нём дополнительные построения – высоты АМ и СН, которые равны как расстояния между параллельными сторонами трапеции.
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найти площадь этой трапеции. Для нахождения площади трапеции в справочном материале есть формула pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить Для начала надо сделать построения на чертеже, чтобы увидеть, как располагаются известные и неизвестные элементы и чем они еще могут являться на чертеже.
с=44 √ 2 × √ 2 =44 √ 4 =44 × 2=88 pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить Для выполнения данного задания надо подставить все известные данные в формулу: Найдем неизвестный множитель, разделив 12,8 на 3,2: d 1 =12,8:3,2=4 pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
На плане изображен дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зеленая, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м, а чуть подальше – жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6). Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение. Задание №1Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других символов.
Решение Для решения 1 задачи работаем с текстом и планом одновременно: при входе на участок слева от ворот находится гараж (слева от входа находится объект под номером 2), итак, гараж — 2. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м (справа объект под номером 1), сарай – номер 1. А чуть подальше – жилой дом, следовательно, жилой дом – объект под номером 7. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки, на плане они обозначены цифрой 3. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, на плане видим, что к объекту под номером 4 ведет дорожка, значит баня – 4. Огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6), в огороде расположена теплица – объект 5. Итак, получили следующее: 1 – сарай; 2 – гараж; 3 – яблоневые посадки; 4 – баня; 5 – теплица; 6 – огород; 7 – жилой дом. Заполняем нашу таблицу:
Записываем ответ: 3517 Задание №2Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом? Решение Для начала надо определить, как обозначены дорожки, которые надо выложить плиткой, на плане. На плане они показаны серым цветом (мы их обведём голубым цветом).
Теперь ищем в условии задачи, что сказано про плитки и дорожки: «Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м». Сосчитаем, сколько клеточек (плиток) на плане, получаем 65. Зная по условию задачи 1, что плитки продаются в упаковках по 6 штук, разделим 65 на 6. Заметим, что 65 на 6 не делится, получается приблизительно 10,8…Учитывая, что упаковки не делятся, округляем до большего целого числа, нам понадобится 11 упаковок. Задание №3Найдите расстояние от жилого дома до теплицы (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах. Решение Из задания 1 знаем, что жилой дом обозначен на плане цифрой 7, а теплица цифрой 5. Следовательно, на плане находим эти объекты и расстояние между двумя ближайшими точками по прямой (обозначим это голубым цветом). Видим, что это расстояние – 2 клетки. На плане показано, что длина стороны одной клетки равна 2 метра, значит, расстояние между двумя этими объектами равно 4 метра.
Задание №4Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах. Решение Найдем на плане гараж, это объект под номером 2. Гараж имеет прямоугольную форму, следовательно, нам надо найти площадь прямоугольника. Для этого надо найти длину и ширину. На плане показано, что длина стороны 1 клетки равна 2 метра, значит, длина гаража равна 8 м (4 клетки), а ширина — 6 м (3 клетки).
Зная ширину и длину, находим площадь гаража: 6х8=48 кв.м Задание №5Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв.м., а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски и стоимость доставки заказа даны в таблице.
Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой? Решение Определим, сколько килограммов краски понадобится для покраски забора площадью 232 кв.м: 1 магазин: 232х0,25=58 кг 2 магазин: 232х0,4=92,8 кг Вычислим количество банок краски, которое надо купить, зная массу краски в 1 банке: 1 магазин: 58:6=9,7…; так как банки продаются целиком, то надо 10 банок (округляем до наибольшего целого числа) 2 магазин: 92,8:5=18,56; значит надо 19 банок. Вычислим стоимость краски в каждом магазине плюс доставка: 1 магазин: 10х3000+500=30500 руб. 2 магазин: 19х1900+800=36900 руб. Из решения задачи видно, что в 1 магазине купить краску выгоднее. Следовательно, наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой будет стоить 30500 рублей. pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
| |||||||||||||||||||||||||||||||
,
,
Определение
