Сумма кубов как читается

21.09.202329.09.2023 admin 0 Comments

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Сумма кубов. Разность кубов

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Формулы сокращённого умножения.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 )

a 3 – b 3 = (a – b)(a 2 + ab + b 2 )

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Формула суммы кубов.

Применив правило умножения многочленов, и приведя подобные члены, получим:

(a + b)(a 2 – ab + b 2 ) = a 3 – a 2 b + ab 2 + ba 2 – ab 2 +b 3 = a 3 + b 3

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 )

Равенство называют формулой суммы кубов.

Читается так: «сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел и неполного квадрата их разности».

Формула разности кубов.

Аналогично докажем формулу разности кубов.

(a – b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 + a 2 b + ab 2 – ba 2 – ab 2 – b 3 = a 3 – b 3

Читается так: «разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел и неполного квадрата их суммы».

Выражения (a 2 + ab + b 2 ) и (a 2 – ab + b 2 ) называют неполным квадратом суммы или разности.

Формула задаёт разложение многочленов:

a 3 + b 3 и a 3 – b 3 на два множителя:

(a + b)(a 2 – a b+ b 2 ) и (a – b)(a 2 + ab + b 2 ).

Формулы суммы и разности кубов используют для упрощения вычислений.

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Выполните умножение многочленов:

Разложите многочлен на множители:

(x +2)(x 2 – 2x +4) – x(x–3)(x+3).

x 3 + 2 3 – x(x 2 – 9) = x 3 + 8 – x 3 + 9x = 8 + 9x.

Доказать, что выражение 123 3 + 27 3 кратно 50.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 ),

получим: (123 + 27)(123 2 –123 · 27 + 27 2 ) =150 · (123 2 –123 · 27 + 27 2 ).

Произведение делится на 50, так как первый множитель делится на 50: (150 : 50 = 3). Нет необходимости считать значение выражения в скобках. Утверждение доказано.

Источник

Сокращенное умножение: правила, формулы

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Формулы сокращенного умножения

Вместо букв a, b могут быть любые числа, переменные или даже целые выражения. Для быстрого решения задач лучше выучить основные 7 формул сокращенного умножения (ФСУ) наизусть. Да, алгебра такая, нужно быть готовым много запоминать.

Ниже удобная табличка, которую можно распечатать и использовать, как закладку для быстрого запоминания формул.

Как читать формулы сокращенного умножения

Учимся проговаривать формулы сокращенного выражения:

Обучение на курсах по математике — дорога к хорошим оценкам в школе и высокому баллу на экзамене.

Доказательство формул сокращенного умножения

Остальные ФСУ можно доказать аналогичным методом.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

К таблице основных ФСУ следует добавить еще несколько важных тождеств, которые пригодятся для решения задач.

Бином Ньютона

Формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается вот так:

Пример вычисления биномиальных коэффициентов, которые стоят в строке под номером n в треугольнике Паскаля:

ФСУ для квадрата и куба суммы и разности — являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n = 2 и n = 3.

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых

Пригодится, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два.

Читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Формула разности n-ых степеней двух слагаемых

a n − b n = (a − b) * (a n-1 + a n-2 * b + a n-3 * b 2 + … + a * b n-2 + b n-1 ).

Для четных показателей можно записать так:

a 2*m − b 2*m = (a 2 − b 2 ) *(a 2*m−2 + a 2*m−4 * b 2 + a 2*m−6 * b 4 + … + b 2*m−2 ).

Для нечетных показателей:

a 2*m+1 − b 2*·m+1 = (a − b) * (a 2*m + a 2*m−1 * b + a 2*m−2 * b 2 + … + b 2*m ).

Частными случаями являются формулы разности квадратов и кубов при n = 2 и n = 3. Для разности кубов b можно также заменить на −b.

Решение задач

Давайте потренируемся и рассмотрим примеры с дробями.

Задание 1

Как решаем: воспользуемся формулой квадрата суммы: (55 + 10) 2 = 55 2 + 2 * 55 * 10 + 10 2 = 3025 + 1100 + 100 = 4225.

Задание 2

Что сделать: упростить выражение 64 * с 3 – 8.

Как решаем: применим разность кубов: 64 * с 3 – 8 = (4 * с) 3 – 2 3 = (4 * с – 2)((4 * с) 2 + 4 * с * 2 + 2 2 ) = (4 * с – 2)(16 * с 2 + 8 * с + 4).

Задание 3

Как решаем:

Многочленов бояться не стоит, просто совершайте последовательно каждое действие. С формулами решать задачки быстрее и удобнее — сохраняйте шпаргалку, запоминайте и радуйте своих учителей 🙂

Источник

Краткое описание

В алгебре большим спросом пользуются различные формулы и соответствующие правила сокращённого умножения. При правильном подходе ученик может максимально быстро и правильно решать большие уравнения. Универсальные формулы были получены специалистами для умножения и вычитания сразу нескольких многочленов. Только подготовленные ученики могут максимально быстро решать поставленные задачи, существенно упростив используемое выражение. Базовые правила востребованных преобразований позволяют выполнять определённые манипуляции с уравнениями.

Если максимально придерживаться основных рекомендаций, то можно будет получить в левой части примера равенство выражения, расположенное с правой стороны. Ученик должен хорошо владеть теми формулами, которые применяются для сокращённого умножения, используемого во время решения задач, а также уравнений. Но даже в этом случае нужно соблюдать ряд нюансов, чтобы можно было избежать допущения грубых ошибок.

Интересным фактом является то, что некоторые формулы для быстрого умножения были выведены экспертами ещё в конце четвёртого тысячелетия до нашей эры. Именно целеустремлённые греки максимально развили идеи своих предшественников, из-за чего им удалось разработать сразу несколько важных и полезных правил. Но в те времена математики мыслили совершенно иначе, так как они стремились воссоздать числа с помощью подручных материалов или геометрических фигур. К примеру: специально обтёсанные камни на счётной доске из дерева.

Ещё несколько лет назад формулы для определения суммы различных величин выводились исключительно геометрическим методом. Эксперты практиковали рассечение квадрата на разные фрагменты. Настоящий подъём науки пришёлся на времена Ньютона и других учёных. Именно эти целеустремлённые люди смогли внести огромный вклад в развитие формул для алгебры, представив обществу усовершенствованный вариант.

Сумма и разность кубов

Для изучения этой темы должно быть отведено достаточно времени, так как только после изучения всех нюансов ученик сможет должным образом применить свои знания. Основная формула суммы кубов двух чисел выглядит следующим способом: w3 + y3 = (w + y) (w2 — wy + y2). Стоит отметить, что задействованное выражение w2 — wy + y2 отличается от правой части только присутствующим коэффициентом при y. Именно поэтому такое выражение называют неполным квадратом разности.

Обязательно нужно усвоить правило, что итог двух кубических (ударение падает на слог с первой буквой «и») корней будет соответствовать произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности. Нужно понимать, что каждая математическая задача обладает определёнными характеристиками, которые нельзя оставить без внимания.

Элементарную формулу сумму кубов получают следующим образом:

Зафиксированная сумма кубов раскладывается по специальной технологии, так как разность кубов двух уравнений равна произведению разности этих уравнений на неполный квадрат их суммы. В качестве примера можно изучить следующую задачу:

По описанному примеру можно понять, что решать поставленные задачи можно быстро и без ошибок, но это только в том случае, если заранее изучить все правила. Ученику необходимо решить минимум три задачи, чтобы увидеть разницу между уравнениями и выполнить полное раскрытие темы.

Основное доказательство ФСУ

Во время изучения математики перед учениками неизбежно возникает необходимость определить сумму кубов. Примеры решения элементарных и более сложных задач позволяют лучше усвоить тему. Основное доказательство ФСУ отличается своей простотой и элементарностью. Базируясь на свойствах умножения можно правильно выполнять сложение цифр из всех частей формул в скобках. В качестве примера можно рассмотреть формулу квадрата разности: d — r2= d−2dr + r2.

Чтобы иметь возможность возвести пример во вторую степень, необходимо задействованное выражение умножать само на себя:

После этого можно считать, что формула полностью доказана. Все остальные ФСУ описываются подобным образом.

Основная цель применения математических приёмов — максимально быстрое и правильное умножение, а также возведение в степень имеющихся выражений. Но это далеко не все способы использования ФСУ. Распространённые методы сокращённого умножения применяются для упрощения выражений, разложение задействованных многочленов на множители, а также для работы с различными дробями.

При правильном подходе ФСУ позволяет даже вычислить значения математических выражений. Главная задача — иметь достаточно навыков, чтобы заметить, где именно будет уместна формула. Если по условиям задачи нужно возвести в квадрат любое число (к примеру: 79), тогда вместо громоздких вычислений можно прибегнуть к более лаконичным и понятным записям: 79=80−1; 792=80−12=6400−160+1=6241.

Формулы умножения с упрощённой схемой и специальные таблицы позволяют гораздо быстрее выполнить все необходимые вычисления. Определённые сложности могут возникнуть с выделением квадрата двучлена, так как в этом случае можно допустить много ошибок.

Математическое выражение 4х2+4х-3 можно легко преобразовать. В этом случае можно получить следующий результат: 2х2 +2*2*х *1 +12−4=2х+12−4. Интересным является то, что именно такое преобразование активно используется в интегрировании.

Вспомогательная информация

Именно сумма сразу двух геометрических кубов получила большой спрос в алгебре для кардинального упрощения многочленов. Лучше всего рассматривать конкретные примеры, которые относятся к категории сложных уравнений. Без наставлений учителя решать такие задачи при помощи универсального тригонометрического аппарата будет крайне сложно, особенно для неподготовленного школьника.

Грубые ошибки допускают те, кто плохо знаком со свойствами синусов и косинусов. На помощь может прийти правило суммы двух кубов, так как все описанные примеры максимально повторяют разложение на отдельные множители выражения a 2 + b 2. Но в этом случае вместо а — sinx, а b заменил cosy.

Если следовать правилам, то многоуровневое тригонометрическое выражение может легко превратиться в лаконичную запись, где sin3x + cos3y. После этого остаётся применить эту универсальную формулу во время подсчёта. Многие люди практически на память знают все квадраты к используемым в повседневной жизни натуральным числам до пятнадцати. А ученики, которые занимаются арифметикой на постоянной основе, владеют большим количеством квадратов. Гораздо сложнее работать с кубами. Если по условиям задачи нужно посчитать сумму двух таких кубов, то гораздо практичнее и быстрее применить формулу разложения на отдельные множители.

На просторах интернета много различных программ, которые считают сумму двух кубов с различными иллюстрациями промежуточных вкладов. Эта разработка программистов пригодится школьникам, стремящимися проверить результаты выполненных работ, а также взрослым, которые хотят возобновить в памяти школьный курс алгебры.

Особенности использования уравнений

Для лучшего усвоения этой темы следует более подробно изучать приведённые примеры. В качестве основы следует взять элементарную формулу для квадрата суммы двух чисел: h+ hl = h2+2 hl + l2. Этот математический пример необходимо читать только таким образом: квадрат суммы для двух выражений h и l соответствует квадрату первого выражения, удвоенного произведения уравнения, а также квадрату второго выражения. Точно таким образом математики читаются все остальные формулы.

Если нужно записать квадрат разности h — l2= h2−2hl + l2. Запись такого уравнения выглядит только так: квадрат математической разности двух примеров максимально соответствует конечной сумме, которая была получена от квадрата этих утверждений. Но также перед учеником может возникнуть необходимость правильно прочитать более сложную формулу: h + l3= h3+3h2l +3hl 2+ l3. Задействованный куб суммы двух математических уравнений соответствует итоговым данным этого примера. В этом уравнении присутствует утроенное произведение квадрата первого выражения на второе.

Ключевые нюансы

Если есть необходимость самостоятельно вычислить куб суммы двух слагаемых, тогда первым делом определяют сумму, которая включает в себя куб первого слагаемого, утроенного произведения квадрата первого и второго слагаемого. В алгебре это выражение выглядит так: (d+e) 3 = d 3 +3 d 2 e +3 de 2 + e 3.

Специальные формулы сокращённого умножения являются неотъемлемой темой в школьной программе по алгебре, так как она обязательно пригодится во время решения многоуровневых задач. Это своеобразная основа, на которой строятся решения интегральных исчислений. Онлайн-калькуляторы помогают лучше освоить технологию применения формулы двух кубов, которые можно свернуть, а потом снова открыть для приведения уравнения в нужный вид.

Источник

Как использовать сумму кубов

В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки.

В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители с применением формул сокращённого умножения.

Прежде чем перейти к этому уроку обязательно выучите наизусть все формулы сокращенного умножения.

Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку.

Вспомним, как выглядит формула суммы кубов.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )

Формула суммы кубов не очень проста для запоминания, поэтому рекомендуем использовать специальный способ для её запоминания.

(a + b)(a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b 3

Как разложить на множители сумму кубов

Рассмотрим пример. Необходимо разложить на множители сумму кубов.

Обратим внимание, что « 8x 3 » — это « (2x) 3 », значит, для формулы суммы кубов вместо « a » мы используем « 2x ».

Используем формулу суммы кубов. Только вместо « a 3 » у нас будет « 8x 3 », а вместо « b 3 » будет « 27y 3 ».

Применение суммы кубов в обратную сторону

Рассмотрим другой пример. Требуется преобразовать произведение многочленов в сумму кубов, используя формулу сокращенного умножения.

Обратите внимание, что произведение многочленов « (p + 1)(p 2 − p + 1) » напоминает правую часть формулы суммы кубов « a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) », только вместо « a » стоит « p », а на месте « b » стоит « 1 ».

Используем для произведения многочленов « (p + 1)(p 2 − p + 1) » формулу сумму кубов в обратную сторону.

Рассмотрим пример сложнее. Требуется упростить произведение многочленов.

В этом произведении многочленов не так очевидно, что будет являться в формуле « a », а что « b ».

Теперь представим скобку « (4a 2 − 6a + 9) » таким образом, чтобы она соответствовала правой части формулы суммы кубов.

Используем формулу суммы кубов и решим пример до конца.

Источник

Формулы сокращённого умножения

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Следует также помнить, что вместо « a » и « b » в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Разность квадратов

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.

a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)

Квадрат суммы

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

Предостережение!

Квадрат разности

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2

Куб суммы

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Как запомнить куб суммы

Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

Предостережение!

Куб разности

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков « + » и « − ». Перед первым членом « a 3 » стоит « + » (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять « − », затем опять « + » и т.д.

(a − b) 3 = + a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3